26、整数规划与半定规划的相关研究

整数规划与半定规划的相关研究

1. 整数规划相关内容

在整数规划领域，有一个重要的定理证明值得深入探讨。为了证明其NP - 难问题，采用了从3 - SAT问题进行多项式时间归约的方法。3 - SAT问题是广为人知的NP完全问题。

1.1 证明思路

设(\phi)是一个3 - CNF公式，将一个赋值编码到变量(y)中。对于公式(\phi)的每个变量(v_i)，关联一个素数(p_i)，使得(y \bmod p_i)表示变量(v_i)的布尔值，即通过辅助装置强制(y \bmod p_i)始终在({0, 1})中。对于公式(\phi)中的子句(C)，用(|C|)表示与子句(C)中出现的变量相关联的所有素数的乘积。根据中国剩余定理，在([|C|])中有一个唯一的值与使子句(C)为假的赋值相关联，需要通过辅助变量(y \bmod |C|)的箱约束来禁止这个值。

例如，若(\phi = (v_1 \vee \neg v_2 \vee v_3))，与这三个变量相关联的素数分别为2、3和5，则(|(v_1 \vee \neg v_2 \vee v_3)| = 30)。因为(v_1 = v_3 = false)且(v_2 = true)是使该子句为假的唯一赋值，所以21是(y \bmod 30)的禁止值。最终，从(\phi)构造的(SIP)可行当且仅当(\phi)存在一个满足赋值。

1.2 具体构造与证明

设(\phi)是一个具有(n’)个变量(v_1, \ldots, v_{n’})和(m’)个子句(C_1, \ldots, C_{m’})的3 - CNF公式。定义一个SIP，即向量(b)、(l)、(u)和一个具有(O((n’ +