51、可分解混合整数非线性规划的交集割与有限精度神谕下的线性规划求解

可分解混合整数非线性规划的交集割与有限精度神谕下的线性规划求解

1. 可分解混合整数非线性规划相关证明

在可分解混合整数非线性规划（Factorable MINLP）中，有几个重要的证明。
- 定理 1 的证明
- 首先，显然有 (h(\bar{x}) = f(g(\bar{x})))。
- 为了证明 (h(x) \leq f(g(x)))，注意到 (h(x) = \min{f_{ave}(z) : g_{ave}(x) \leq z \leq g_{vex}(x)})。因为 (z = g(x)) 是一个可行解，且 (f_{ave}) 是 (f) 的低估函数，所以 (h(x) \leq f(g(x)))。
- 接着证明 (h) 是凹函数。使用表示式 (h(x) = \min{f_{ave}(z) : g_{ave}(x) \leq z \leq g_{vex}(x)})，为简化符号，令 (g_1 = g_{ave})，(g_2 = g_{vex})。根据凹函数的定义，即证明 (h(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \geq \lambda h(x_1) + (1 - \lambda) h(x_2))，其中 (\lambda \in [0, 1])。
- 设 (I = [g_1(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2), g_2(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2)])，(J = [\lambda g_1(x_1) + (1 - \lambda) g_1(x_2), \lambda g_2(x_1) + (1 - \lambda) g_2(x_2)])