39、非对称旅行商路径与近似多拟阵交问题研究

非对称旅行商路径与近似多拟阵交问题研究

非对称旅行商路径问题

界定对偶变量差值

在非对称旅行商路径（Asymmetric Traveling Salesman Path，ATSPP）问题中，我们通过线性规划（LP）来界定对偶变量 (a_s) 和 (a_t) 的差值。这一界定对于推导主要结果 (\rho_{ATSPP} \leq 4\rho_{ATSP} - 3) 至关重要，其中 (\rho_{ATSPP}) 和 (\rho_{ATSP}) 分别是 ATSPP 和 ATSP 的整数比。

首先，我们给出在任何最优对偶解中 (a_s - a_t) 最小值的等价特征。虽然这对于证明主要结果并非必需，但有助于我们获得直观理解。

引理相关内容

• 引理 3 ：设 (I = (G, c, s, t)) 是 ATSPP 的一个实例，(\Delta \geq 0)。考虑实例 (I’ = (G + e’, c, s, t))，其中添加一条边 (e’ = (t, s)) 且 (c(e’) := \Delta)。则 (LP_I \geq LP_{I’})，并且 (LP_I = LP_{I’}) 当且仅当存在实例 (I) 的（ATSPP DUAL）的一个最优解 ((a, y)) 使得 (a_s - a_t \leq \Delta)。
• 引理 4 ：设 ((G, c, s, t)) 是 ATSPP 的一个实例，(G) 是（ATSPP LP）最优解的支撑图。设 ((a, y)) 是（ATSPP DUAL）的一个最优解，使得 (a_s - a_t) 最小。设