21、双层背包问题（BKP）的新方法

双层背包问题（BKP）的新方法

1. 计算 BKP 的下界

考虑最优解向量 $x^ $，在诱导的追随者背包问题 $KP(x^ )$ 中，对于物品集 $S$ 存在两种情况：
- 情况一：$KP^{LP}(x^ )$ 中不存在关键物品，即 $\sum_{i\in S} w_i \leq C_l$。这种情况下，追随者会选择领导者未拦截的所有物品。
- 情况二：$KP^{LP}(x^ )$ 中存在一个关键物品，即 $\sum_{i\in S} w_i > C_l$。对于这种情况，我们通过猜测 $KP^{LP}(x^*)$ 的关键物品，并相应地计算追随者问题的相关分割解，来推导 BKP 的有效下界。

为了实现这一点，我们制定了整数线性规划（ILP）模型 $CRIT1(c)$：
$CRIT1(c) :$
$\min \sum_{i=1}^{c - 1} p_i(1 - x_i)$ (10)
$\text{subject to}$
$\sum_{i=1}^{n} v_i x_i \leq C_u$ (11)
$\sum_{i=1}^{c - 1} w_i(1 - x_i) + \sum_{j=1}^{w_c} j k_j = C_l$ (12)
$\sum_{j=1}^{w_c} k_j = 1$ (13)
$x_c = 0$ (14)
$x_i \in {0, 1}, i = 1, \ldots, n$ (15)
$k_j \in {0, 1}, j = 1, \ldots, w_c$ (16)

目标函数 (10) 最小化分割解的值。