34、格的Voronoi胞腔的紧凑表示

格的Voronoi胞腔的紧凑表示

在算法几何、密码学和整数规划等领域中，格上的最近向量问题（CVP）和最短向量问题（SVP）是两个备受关注的重要问题。本文围绕如何为CVP设计单指数时间且多项式空间的算法展开，核心在于提出格的Voronoi胞腔的紧凑表示方法。

1. 背景与问题提出

• 格与相关问题定义 ：
  • (n)维格(\Lambda = {Bz : z \in \mathbb{Z}^n})，其中(B \in \mathbb{R}^{d\times n})，通常假设(d = n)，即格具有满秩。
  • 最短向量问题（SVP） ：给定格(\Lambda)，寻找(\Lambda)中的最短非零向量。
  • 最近向量问题（CVP） ：对于目标向量(t \in \mathbb{R}^n)，寻找格向量(z^\star)，使得在所有(z \in \Lambda)中，欧几里得长度(|t - z|)最小。
• 算法发展历程 ：
  • 20世纪80年代，Kannan提出了在比特复杂度(n^{O(n)})和多项式空间内解决SVP和CVP的算法。
  • 2001年，Ajtai、Kumar和Sivakumar给出了求解SVP的随机算法，时间复杂度为(2^{O(n)})，但需要指数空间。
  • 2010年，Micciancio和Voulgaris提出了确定性的单指数时间算法来解决