25、最小最大匹配的紧密近似比与整数规划的复杂度研究

最小最大匹配的紧密近似比与整数规划的复杂度研究

1. 无权重最小最大匹配（Unweighted MMM）

从一个带有顶点权重函数 (w) 的图 (G’ {\varPhi}) 以及任意精度参数 (\rho > 0) 出发，我们要构建一个无权重图 (G^{\rho} {\varPhi}=(V^{\rho}, E^{\rho}))，其图的大小是关于 (|\varPhi|) 和 (\frac{1}{\rho}) 的多项式。
- 顶点集 (V^{\rho}) 的构建 ：设 (n = |V (G’ {\varPhi})| \cdot \frac{1}{\rho})，对于 (G’ {\varPhi}) 中的每个顶点 (v)，设置 (n_v = \lceil n \cdot w(v) \rceil)。新的顶点集由原顶点的多个副本组成，对于每个顶点 (v)，添加 (4 \cdot n_v) 个副本，即 (V^{\rho} = { \langle v, i \rangle | v \in V (G’ {\varPhi}), i \in {1, \ldots, 4 \cdot n_v} })。
- 边集 (E^{\rho}) 的构建 ：边连接 (G’ {\varPhi}) 中相连顶点的副本对，即 (E^{\rho} = { { \langle v_1, i_1 \rangle, \langle v_2, i_2 \rangle } | {v_1, v_2} \in E(G_{\varPhi}), i_1 \in [4 \cdot n_{v_1}], i_2 \in [4 \c