24、最小最大匹配的紧密近似比

最小最大匹配的紧密近似比

1. 引言

匹配是算法理论中最核心的组合结构之一。自 1961 年以来，人们就知道在一般图中，许多完美匹配和最大匹配的自然变体都可以在多项式时间内找到。本文研究的是一个不同的问题——最小最大匹配（Minimum Maximal Matching，mmm），即在给定的图 $G$ 中，找到一个包含意义上的最大匹配 $M$，使其基数（或加权版本中的权重）最小。

1.1 相关工作

• 问题等价性 ：mmm 问题早在 1980 年就被研究，Yannakakis 和 Gavril 证明了该问题即使在某些受限情况下也是 NP 难的。他们还指出 mmm 问题与最小边支配集（Minimum Edge Dominating Set，eds）问题等价，即找到一个最小基数的边子集 $F$，使得图中的每条边都与 $F$ 中的某条边相邻。不过，这种等价性在加权版本中不成立。
• 近似算法 ：
  • 由于一个图中一个最大匹配的大小不会超过另一个最大匹配的两倍，因此可以得到一个简单的 2 - 近似算法。
  • 对于加权版本，2003 年 Carr 等人提出了一个 2.1 - 近似算法，后来 Fujito 和 Nagamochi 将其改进到 2。
  • 对于无权问题，Gotthilf 等人提出了一个 $2 - \frac{c \log n}{n}$ 的近似算法，Schmied 和 Viehmann 为稠密图提出了一个优于 2 的常数比率算法。