【BZOJ4475】【JSOI2015】子集选取

最新推荐文章于 2022-10-05 20:13:46 发布

cz_xuyixuan

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分类专栏：【OJ】BZOJ 【类型】做题记录【算法】数学【算法】找规律

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本文提出了一种高效计算特定组合问题的方法，通过将问题分解并利用递归思想，最终得出简洁的时间复杂度为O(LogN+LogK)的解决方案。适用于求解涉及大量元素的组合计数问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目链接】

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【思路要点】

不难发现问题对于\(S\)中的\(N\)个元素是相互独立的，因此\(Ans(N,K)=Ans(1,K)^N\)。
考虑\(N=1\)的情况，令“选取”为1，“不选取”为0，问题实际上要求1形成的轮廓线单调的三角形数。
我们可以把一种合法的方案看作一条从三角形左下角只向右或上走，走到三角形斜边的路径，路径左上方为1，右下方为0。
任意一条这样的路径长度均为\(K\)，每次有向上和向右两种选择，因此\(Ans(1,K)=2^K\)。
所以\(Ans(N,K)=2^{N*K}\)
时间复杂度\(O(LogN+LogK)\)。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int P = 1e9 + 7;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int power(int x, int y) {
	if (y == 0) return 1;
	int tmp = power(x, y / 2);
	if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
	else return 1ll * x * tmp % P * tmp % P;
}
int main() {
	int n, k;
	read(n), read(k);
	writeln(power(power(2, n), k));
	return 0;
}