【BZOJ4475】子集选取（JSOI2015）-组合数学

原创于 2018-08-27 22:03:50 发布 · 428 阅读

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博客围绕子集选取问题展开，指出需运用组合数学知识。通过分开考虑每个元素，利用从直角三角形左下角引出折线的方式，推导出一个元素的方案数为2k，进而得出n个元素的总方案数为2nk，最后给出了代码。

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测试地址：子集选取
做法：本题需要用到组合数学。
本题是一个结论题，接下来写一下数学推导。
我们显然可以分开考虑每个元素，最后把方案数乘起来。对于一个元素，它在直角三角形中的存在是要满足一定限制条件的：考虑从直角三角形的左下角引出一条折线，可以向上或向右走，最后折线的左上方就是出现该元素的位置。那么折线的数目就是方案的数目，可以发现折线不管怎么走都是走 $k$ 步，而每一步都可以选择向右或向上，所以总的方案数为 $2^k$ 。因此 $n$ 个元素的情况的总方案数就是 $(2^k)^n=2^{nk}$ ，于是我们就解决了这一题。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
ll n,k;

ll power(ll a,ll b)
{
    ll s=1ll,ss=a;
    while(b)
    {
        if (b&1) s=s*ss%mod;
        ss=ss*ss%mod;b>>=1;
    }
    return s;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&k);
    printf("%lld",power(2ll,n*k));

    return 0;
}