【BZOJ4869】【SHOI2017】相逢是问候

【题目链接】

• 点击打开链接
  

【思路要点】

• 欧拉拓展定理：\(a^{\phi(n)}\equiv a^{2\phi(n)}(Mod\ n)\)。
• 而\(\phi(\phi(n))<\frac{n}{2}\)（\(\phi(奇数)=偶数\)，\(\phi(偶数)≤\frac{偶数}{2}\)），所以至多有\(O(LogP)\)个不同的模数，模数就会变成1，所以经过\(O(LogP)\)次修改后，被操作数对\(P\)取模的结果都不会再发生变化。
• 因此，我们用一棵线段树维护这个序列，维护区间和以及区间内是否还存在修改之后会变化的数即可。
• 时间复杂度\(O(NLog^3P+MLogN)\)。
• 需要注意的是，模数变成1后，我们需要保留2个1来保证程序的正确性。
• 这是因为我们关注的并不完全是取模的结果，而关注的是\(f(x,p)\)。
• 当\(x≤p\)，\(f(x,p)=x\)，否则，\(f(x,p)=x\ Mod\ p+p\)。
• 而\(f(x,1)\)的结果不总是1，当\(x=0\)，\(f(x,1)=0\)。
• 因此，只保留一个1是不够的，若保留2个1，则有\(f(c^{f(x,1)},1)=1\)恒成立。
• 至此，我们解决了本题。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 50005;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int n, m, tot, p[MAXN], c, x[MAXN];
struct SegmentTree {
	struct Node {
		int lc, rc;
		int sum, Min;
	} a[MAXN * 2];
	int n, root, size;
	void update(int root) {
		a[root].sum = (a[a[root].lc].sum + a[a[root].rc].sum) % p[1];
		a[root].Min = min(a[a[root].lc].Min, a[a[root].rc].Min);
	}
	void build(int &root, int l, int r) {
		root = ++size;
		if (l == r) {
			a[root].Min = 1; read(x[l]);
			a[root].sum = x[l];
			return;
		}
		int mid = (l + r) / 2;
		build(a[root].lc, l, mid);
		build(a[root].rc, mid + 1, r);
		update(root);
	}
	void init(int x) {
		n = x;
		root = size = 0;
		build(root, 1, n);
	}
	int power(int x, int y, int P, bool &flg) {
		if (y == 0) return 1;
		int tmp = power(x, y / 2, P, flg);
		if (1ll * tmp * tmp >= P) flg = true;
		tmp = 1ll * tmp * tmp % P;
		if (y % 2 == 0) return tmp;
		else {
			if (1ll * x * tmp >= P) flg = true;
			return 1ll * x * tmp % P;
		}
	}
	int calc(int depth, int x) {
		if (x >= p[depth]) x = x % p[depth] + p[depth];
		for (int i = depth - 1; i >= 1; i--) {
			bool flg = false;
			x = power(c, x, p[i], flg);
			if (flg) x += p[i];
		}
		return x % p[1];
	}
	void modify(int root, int l, int r, int ql, int qr) {
		if (l == ql && r == qr && a[root].Min == tot) return;
		if (l == r) {
			a[root].sum = calc(++a[root].Min, x[l]);
			return;
		}
		int mid = (l + r) / 2;
		if (mid >= ql) modify(a[root].lc, l, mid, ql, min(mid, qr));
		if (mid + 1 <= qr) modify(a[root].rc, mid + 1, r, max(mid + 1, ql), qr);
		update(root);
	}
	int query(int root, int l, int r, int ql, int qr) {
		if (l == ql && r == qr) return a[root].sum;
		int mid = (l + r) / 2, ans = 0;
		if (mid >= ql) ans += query(a[root].lc, l, mid, ql, min(qr, mid));
		if (mid + 1 <= qr) ans += query(a[root].rc, mid + 1, r, max(mid + 1, ql), qr);
		return ans % p[1];
	}
	void modify(int l, int r) {modify(root, 1, n, l, r); }
	int query(int l, int r) {return query(root, 1, n, l, r); }
} ST;
int phi(int x) {
	int ans = x, tmp = x, now = 2;
	while (now * now <= tmp) {
		if (tmp % now == 0) {
			ans = ans / now * (now - 1);
			while (tmp % now == 0) tmp /= now;
		}
		now++;
	}
	if (tmp != 1) ans = ans / tmp * (tmp - 1);
	return ans;
}
int main() {
	tot = 1;
	read(n), read(m), read(p[tot]), read(c);
	while (p[tot - 1] != 1) {
		p[tot + 1] = phi(p[tot]);
		tot++;
	}
	ST.init(n);
	while (m--) {
		int opt, l, r;
		read(opt), read(l), read(r);
		if (opt == 0) ST.modify(l, r);
		else writeln(ST.query(l, r));
	}
	return 0;
}