【省内训练2019-06-28】Islands

最新推荐文章于 2022-10-18 09:00:15 发布

原创

最新推荐文章于 2022-10-18 09:00:15 发布 · 503 阅读

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博客探讨了在森林的Prufer序列中，如何计算特定度数分布下的方案数。通过枚举关键点的度数总和并利用递推公式求解系数，最后根据组合数的质因数分解进行高效计算，单组数据的时间复杂度为O(M^2k + Mk^2 + MkLog_2P)。

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【思路要点】

考虑一个子问题，即本题 $K = N$ 时的情况。

选择 $1,2,…,M1,2,\dots,M$ 作为关键点，最后将答案乘以 $(NM)\binom{N}{M}$ 。

按照如下方式定义森林的 $P r u f e r$ 序列：找到最大的叶子节点 $x$ ，记录下与 $x$ 直接相连的点的标号，然后将 $x$ 删去，直到只剩下 $1,2,…,M1,2,\dots,M$ 。

这样生成的序列长度为 $N - M$ ，其中最后一个位置的取值范围为 $1,2,…,M}\{1,2,\dots,M\}$ ，剩余位置的取值范围为 $1,2,…,N}\{1,2,\dots,N\}$ ，且可以发现，通过任意一个这样的序列我们也可以构造出一个森林，因此森林与上述序列一一对应，答案即为 $M×NN−M−1M\times N^{N-M-1}$ 。

回到原题，考虑枚举 $1,2,…,M1,2,\dots,M$ 的度数总和 $0,1,2,…,M×k})i\ (i\in\{0,1,2,\dots,M\times k\})$ ，若能计算出系数 $coef_{M,i}$ 表示将 $1,2,…,M1,2,\dots,M$ 填入 $i$ 个不同的位置，要求各种数字出现次数在 $k$ 以内的方案数，则 $i$ 对答案的贡献即为 $coefM,i×(N−Mi)×i(N−M)N−M−i−1coef_{M,i}\times\binom{N-M}{i}\times i(N-M)^{N-M-i-1}$