【省内训练2019-06-28】Trominoes

最新推荐文章于 2019-07-05 07:50:00 发布

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最新推荐文章于 2019-07-05 07:50:00 发布 · 581 阅读

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这篇博客探讨了Trominoes（三格骨牌）的放置问题，通过将划分和标号结合，保证轮廓线单调。利用1和0表示上下和右边，分析转移过程，得出每一步都是10转换为01。通过组合数学的钩子公式或LGV-Lemma计算方案数，提出O(N×M+T×(N+M)Log(N+M))的时间复杂度解决方案。

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【思路要点】

将划分和标号放在一起考虑，即依次放入标号为 $1∼N×M31\sim{}\frac{N\times M}{3}$ 的骨牌，保证当前放入区域的轮廓线为单调的，不难发现放置方案与题目中所要计算的方案数一一对应。

将轮廓线描述为 $N$ 个 “上” 和 $M$ 个 “右” ，用 $1$ 来表示 “上” ， $0$ 来表示 “右” ，则初始时的轮廓线为 $111…1000…0111\dots1000\dots0$ 。

观察转移，也即放置一个新的骨牌的方式：
$1000→00011010→00111100→01011110→01111000\rightarrow 0001\\1010\rightarrow 0011\\1100\rightarrow 0101\\1110\rightarrow 0111$

可以发现，所有的转移可以归纳为 “使得一个 $1$ 与 $3$ 格外的一个 $0$ 交换位置，且中间的数对转移没有影响” 。

将模 $3$ 相同的位置分别考虑，最后用组合数合并答案，则转移即为 $10→0110\rightarrow01$