【BZOJ4230】倒计时

最新推荐文章于 2020-03-26 10:24:52 发布

cz_xuyixuan

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分类专栏：【类型】做题记录【OJ】BZOJ 【算法】动态规划【算法】自动机思想【算法】贪心

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本文介绍了一种使用数位DP与自动机优化解决特定类型问题的方法，通过构造自动机节点并利用转移矩阵，实现了从当前节点到下一节点的有效转移，大幅提升了问题求解的效率。文章详细阐述了算法思路，包括贪心策略的选择、状态定义、转移操作及时间复杂度分析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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【思路要点】

记 $f (i)$ 表示 $i$ 最大的数位，则有 $f(i)+1\geq f(i+1)$ ，即 $f(i)\leq f(i-1)+1$ 。
因此 $i$ 能够到达的数 $i - 1$ 必然可以到达，贪心地删去最大位是正确的。
将末尾数字看做自动机的节点，每一次我们将会让当前节点进行一次转移，该转移只与所在的自动机节点以及非末尾数字的最大值 $M a x$ 有关，可以描述为自动机上末尾数字的一个标为 $M a x$ 的出边。
计算 $trans_{i,j,k}$ 表示从自动机的节点 $k$ 开始，进行 $i\times10^j\sim(i-1)\times10^j+1$ 中所有的数对应的转移将到达的节点，以及经过的转移次数即可加速转移。
时间复杂度 $O(\sigma^3 LogN)$ ，其中 $\sigma$ 表示进制大小，有 $\sigma=10$ ，单次询问复杂度可以做到 $O(\sigma LogN)$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 20;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
// Depth, Max, Pos
pair <int, ll> trans[MAXN][10][10];
pair <int, ll> operator + (pair <int, ll> a, pair <int, ll> b) {
	a.first = b.first;
	a.second += b.second;
	return a;
}
int Max(ll n) {
	ll ans = 0;
	while (n != 0) {
		chkmax(ans, n % 10);
		n /= 10;
	}
	return ans;
}
ll query(ll n, pair <int, ll> now) {
	while (n >= 0) {
		ll bit = 1; int layer = 0;
		while (n / bit % 10 == 9) {
			bit *= 10;
			layer++;
		}
		now = now + trans[layer][Max(n / bit)][now.first];
		n -= bit;
	}
	return now.second;
}
int main() {
	ll n; read(n);
	for (int i = 0; i <= 9; i++)
	for (int j = 0; j <= 9; j++) {
		if (i == 0) {
			trans[0][i][j] = make_pair(0, j != 0);
			continue;
		}
		if (j >= i) trans[0][i][j] = make_pair(10 - i, 2);
		else trans[0][i][j] = make_pair(10 + j - i, 1);
	}
	for (int p = 1; p < MAXN; p++) {
		for (int i = 0; i <= 9; i++)
		for (int j = 0; j <= 9; j++) {
			pair <int, ll> now = make_pair(j, 0);
			for (int k = 9; k >= 0; k--)
				now = now + trans[p - 1][max(i, k)][now.first];
			trans[p][i][j] = now;
		}
	}
	writeln(query(n / 10, make_pair(n % 10, 0)));
	return 0;
}