【省内训练2018-12-23】String

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本文深入探讨了字符串匹配算法中的核心概念，特别是在处理含有特定字符的字符串时如何进行有效匹配。文章详细分析了不同情况下字符串匹配的策略，包括无问号情况下的匹配规则，以及如何通过枚举和组合数计算来解决复杂匹配问题。此外，还提供了时间复杂度分析和代码实现，为读者提供了一个全面理解字符串匹配算法的视角。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【思路要点】

考虑无问号的情况，分为两种：
$1$ 、 $S = T$ ，那么 $A$ 和 $B$ 取任意字符串均可，贡献为 $arbitrary=∑i=1N2i∑j=1N2jarbitrary=\sum_{i=1}^{N}2^i\sum_{j=1}^{N}2^j$ 。
$2$ 、 $S≠TS\ne T$ ，那么要求 $A$ 和 $B$ 均具有一个长度为 $g c d (∣ A ∣, ∣ B ∣)$ 的周期，此周期不需要为整周期，也不需要是最小周期，并且要求填入 $A$ 和 $B$ 后 $∣ S ∣ = ∣ T ∣$ 。可以证明，上述条件是 $(A, B)$ 合法的充要条件。
假设 $S$ 中有 $a$ 个 $A$ ， $b$ 个 $B$ ， $T$ 中有 $c$ 个 $A$ ， $d$ 个 $B$ ，则 $∣S∣=∣T∣⇔a∣A∣+b∣B∣=c∣A∣+d∣B∣|S|=|T|\Leftrightarrow a|A|+b|B|=c|A|+d|B|$ 。
因此，该情况的贡献为 $∑i=1N∑j=1N[ai+bj=ci+dj]2gcd(i,j)\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}[ai+bj=ci+dj]2^{gcd(i,j)}$ 。
分几类讨论一下：
$1$ 、 $a = c, b = d$ ，那么贡献为 $valueg=∑i=1N∑j=1N2gcd(i,j)∑g=1N2g∑d=1⌊Ng⌋μ(d)∗⌊Ngd⌋2valueg=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}2^{gcd(i,j)}\sum_{g=1}^{N}2^g\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{N}{g}\rfloor}\mu(d)*\lfloor\frac{N}{gd}\rfloor^2$ 。
$2$ 、 $(a - c) * (b - d) \geq 0$ ，那么 $a i + b j = c i + d j$ 无正整数解，贡献为 $0$ 。
$3$ 、否则我们可以得到一个形如 $(gcd(x,y)=1,x>y)|A|=\frac{x}{y}|B|\ (gcd(x,y)=1,x>y)$ 的关系，贡献为 $limx=∑i=1⌊Nx⌋2ilim_x=\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{N}{x}\rfloor}2^i$ 。
因此，适当地预处理后，我们可以 $O (1)$ 处理无问号的情况。
考虑枚举 $S, T$ 中各有多少问号变为了 $A$ ，用组合数计算系数，可以得到一个 $O (∣ S ∣ * ∣ T ∣)$ 的解法。
注意到计算贡献时，我们只关心 $a - c, b - d$ ，因此我们也可以只枚举 $S$ 中变为 $A$ 的问号比 $T$ 中变为 $A$ 的问号多几个。记 $S$ 中问号个数为 $s$ ， $T$ 中问号个数为 $t$ ，则 $S$ 中变为 $A$ 的问号比 $T$ 中变为 $A$ 的问号多 $i$ 个的方案数为 $(s+ti+t)\binom{s+t}{i+t}$ 。
注意考虑文章开头提到的 $S = T$ 的情况。
时间复杂度 $O (N L o g N + ∣ S ∣ + ∣ T ∣)$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 6e5 + 5;
const int P = 1e9 + 7;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int fac[MAXN], inv[MAXN], bit[MAXN];
int n, sa, sb, sq, ta, tb, tq, ans;
int arbitrary, valueg, lim[MAXN], miu[MAXN];
char s[MAXN], t[MAXN];
int power(int x, int y) {
	if (y == 0) return 1;
	int tmp = power(x, y / 2);
	if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
	else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
void update(int &x, int y) {
	x += y;
	if (x >= P) x -= P;
}
int getc(int x, int y) {
	if (y > x) return 0;
	else return 1ll * fac[x] * inv[y] % P * inv[x - y] % P;
}
void gets(char *s, int &a, int &b, int &q) {
	scanf("%s", s + 1);
	int len = strlen(s + 1);
	for (int i = 1; i <= len; i++)
		if (s[i] == 'A') a++;
		else if (s[i] == 'B') b++;
		else q++;
}
void init(int n) {
	fac[0] = bit[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
		bit[i] = 2ll * bit[i - 1] % P;
	}
	inv[n] = power(fac[n], P - 2);
	for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1ll) % P;
}
void solve(int x, int y, int coef) {
	if (x == 0 && y == 0) update(ans, 1ll * coef * valueg % P);
	if (1ll * x * y >= 0) return;
	x = abs(x), y = abs(y); int g = __gcd(x, y);
	x /= g, y /= g; if (x > y) swap(x, y);
	update(ans, 1ll * lim[y] * coef % P);
}
void equal(int len) {
	int coef = 1;
	for (int i = 1; i <= len; i++) {
		if (s[i] != '?' && t[i] != '?' && s[i] != t[i]) return;
		if (s[i] == '?' && t[i] == '?') coef = 2ll * coef % P;
	}
	update(ans, 1ll * coef * arbitrary % P);
	update(ans, P - 1ll * coef * valueg % P);
}
int getmiu(int x) {
	int i = 2, ans = 1;
	while (i * i <= x) {
		if (x % i == 0) {
			x /= i;
			if (x % i == 0) return 0;
			ans = P - ans;
		}
		i++;
	}
	if (x != 1) ans = P - ans;
	return ans;
}
void calcconsts() {
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = 1; i * j <= n; j++)
		update(lim[i], bit[j]);
	int sum = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		update(sum, bit[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		update(arbitrary, 1ll * sum * bit[i] % P);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		miu[i] = getmiu(i);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	for (int j = 1; i * j <= n; j++)
		update(valueg, 1ll * bit[i] * miu[j] % P * (n / i / j) % P * (n / i / j) % P);
}
int main() {
	freopen("string.in", "r", stdin);
	freopen("string.out", "w", stdout);
	init(6e5);
	gets(s, sa, sb, sq);
	gets(t, ta, tb, tq);
	read(n), calcconsts();
	for (int i = -tq; i <= sq; i++)
		solve(sa - ta + i, sb + sq - i - tb - tq, getc(tq + sq, i + tq));
	if (sa + sb + sq == ta + tb + tq) equal(sa + sb + sq);
	writeln(ans);
	return 0;
}