【CodeForces1202F】You Are Given Some Letters...

最新推荐文章于 2024-02-20 10:27:35 发布

cz_xuyixuan

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分类专栏：【OJ】CodeForces 【类型】做题记录【算法】分块与莫队

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_39972971/article/details/99206610

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【算法】分块与莫队

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本文深入探讨了周期字符串匹配问题的高效算法实现，通过枚举周期并利用数学推导，提出了一个时间复杂度为O(sqrt(a+b))的解决方案。文章详细分析了如何判断一个周期是否合法，以及如何在满足条件的情况下计算所有可能的周期数量。

【题目链接】

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【思路要点】

枚举周期 $p$ ，考虑如何判断其是否合法。
记 $N=a+b,r=\lfloor\frac{N}{p}\rfloor$ ，那么最后一段有 $N\% r$ 个字符，其中至少有 $a\% r$ 个 $A$ ， $b\%r$ 个 $B$ ，因此一个必要条件为 $N\%r\geq a\%r+b\%r$ ，记 $delta=N\%r-a\%r-b\%r$ 。
记在整段中的 $A, B$ 的个数为 $a_0,b_0$ ，在最后一段的 $A, B$ 的个数为 $a_1,b_1$ ，使得字符串存在长度为 $p$ 的周期的充要条件是 $a_0\geq a_1,b_0\geq b_1$ ，其必要性显然，并且不难构造。
因此，我们需要 $\lfloor\frac{a}{r}\rfloor\geq a\%r,\lfloor\frac{b}{r}\rfloor\geq b\%r$ ，且 $\lfloor\frac{\lfloor\frac{a}{r}\rfloor- a\%r}{r+1}\rfloor+\lfloor\frac{\lfloor\frac{b}{r}\rfloor- b\%r}{r+1}\rfloor\geq \frac{delta}{r}$ ，注意这里 $d e l t a$ 一定是 $r$ 的倍数。
至此，我们有了一个 $O (a + b)$ 的做法。
不难注意到多数条件中只出现了 $r$ ，枚举 $r$ ，则可以得到一个 $p$ 的范围，据此计算答案即可。
时间复杂度 $O(\sqrt{a+b})$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
void force() {
	int a, b; read(a), read(b);
	int n = a + b, ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int r = n / i, delta = (n % i - (a % r + b % r)) / r;
		if (delta >= 0 && a / r >= a % r && b / r >= b % r && delta - (a / r - a % r) / (r + 1) - (b / r - b % r) / (r + 1) <= 0) ans++;
	}
	writeln(ans);
}
int main() {
	int a, b; read(a), read(b);
	int n = a + b, ans = 0;
	for (int i = 1, nxt; i <= n; i = nxt + 1) {
		int r = n / i; nxt = n / r;
		if (a / r >= a % r && b / r >= b % r) {
			int Min = (a % r + b % r);
			int Max = ((a / r - a % r) / (r + 1) + (b / r - b % r) / (r + 1)) * r + (a % r + b % r);
			int rMin = (n - Max) / r + ((n - Max) % r != 0);
			int rMax = (n - Min) / r;
			chkmax(rMin, i);
			chkmin(rMax, nxt);
			if (rMin <= rMax) ans += rMax - rMin + 1;
		}
	}
	writeln(ans);
	return 0;
}