【LOJ2263】「CTSC2017」游戏

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本文介绍了一种使用线段树进行概率计算优化的方法，针对特定问题模型，通过维护事件转移矩阵，实现O(LogN)查询效率。适用于动态更新场景，如单点插入/删除操作，利用set数据结构辅助前驱后继查找，实现O(NLogN)时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目链接】

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【思路要点】

仿照题目的第二问的解法，我们先来考虑本题的平方做法。
令 $B$ 表示事件 $x_i=1$ ； $A$ 表示事件 $x_j=c$ ，其中 $j$ 是 $i$ 之前第一个确定的事件，若 $i$ 之前没有确定的事件，则 $j = 0$ ； $C$ 表示事件 $x_k=c$ ，其中 $k$ 是 $i$ 之后第一个确定的事件，若 $i$ 之后没有确定的事件，则 $k = N + 1$ 。
我们希望计算概率 $P (B ∣ A, C)$ ，根据贝叶斯公式：
$P(B|A,C)=\frac{P(A,C|B)*P(B)}{P(A,C)}=\frac{P(A|B)*P(C|B)*P(B)}{P(C|A)*P(A)}=\frac{P(B|A)*P(C|B)}{P(C|A)}$
区间 $[j, k)$ 的贡献即为 $\sum_{i=j}^{k-1}P(B|A,C)=\frac{\sum_{i=j}^{k-1}P(B|A)*P(C|B)}{P(C|A)}$ ，该式可以看做从事件 $A$ 转移到事件 $C$ 的每一条路径中，每经过一次 $x_i=1$ 就使计数器 $c n t$ 加 $1$ ，最后到达 $C$ 时 $c n t$ 值的期望，可以用线段树维护矩阵做到 $O (L o g N)$ 查询。
每次单点插入/删除时在 $s e t$ 中找前驱后继，更新答案即可。
时间复杂度 $O (N L o g N)$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int n, m; char type;
double p[MAXN], q[MAXN], t[MAXN][2][2];
struct info {double p[2][2], e[2][2]; };
//0 : lose, 1 : win
info cipher() {
	info ans;
	memset(ans.p, 0, sizeof(ans.p));
	memset(ans.e, 0, sizeof(ans.e));
	return ans;
}
info unit() {
	info ans = cipher();
	ans.p[0][0] = ans.p[1][1] = ans.e[1][1] = 1;
	return ans;
}
info merge(info a, info b, int pos) {
	info ans = cipher();
	for (int i = 0; i <= 1; i++)
	for (int j = 0; j <= 1; j++) {
		for (int k = 0; k <= 1; k++)
		for (int l = 0; l <= 1; l++) {
			ans.p[i][j] += a.p[i][k] * t[pos][k][l] * b.p[l][j];
			ans.e[i][j] += (a.p[i][k] * t[pos][k][l] * b.p[l][j]) * (a.e[i][k] + b.e[l][j]);
		}
		ans.e[i][j] /= ans.p[i][j];
	}
	return ans;
}
struct SegmentTree {
	struct Node {
		int lc, rc;
		info ans;
	} a[MAXN * 2];
	int n, size, root;
	void update(int root, int l, int r) {
		int mid = (l + r) / 2;
		a[root].ans = merge(a[a[root].lc].ans, a[a[root].rc].ans, mid + 1);
	}
	void build(int &root, int l, int r) {
		root = ++size;
		if (l == r) {
			a[root].ans = unit();
			return;
		}
		int mid = (l + r) / 2;
		build(a[root].lc, l, mid);
		build(a[root].rc, mid + 1, r);
		update(root, l, r);
	}
	void init(int x) {
		n = x;
		root = size = 0;
		build(root, 0, n);
	}
	info query(int root, int l, int r, int ql, int qr) {
		if (l == ql && r == qr) return a[root].ans;
		int mid = (l + r) / 2;
		if (mid >= qr) return query(a[root].lc, l, mid, ql, qr);
		else if (mid + 1 <= ql) return query(a[root].rc, mid + 1, r, ql, qr);
		else return merge(query(a[root].lc, l, mid, ql, mid), query(a[root].rc, mid + 1, r, mid + 1, qr), mid + 1);
	}
	info query(int l, int r) {
		return query(root, 0, n, l, r);
	}
	double getans(pair <int, int> x, pair <int, int> y) {
		info tmp = query(x.first, y.first);
		return tmp.e[x.second][y.second] - y.second;
	}
} ST;
set <pair <int, int> > st;
int main() {
	scanf("%d%d %c", &n, &m, &type);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lf", &p[i]);
		if (i == 1) q[i] = p[i];
		else scanf("%lf", &q[i]);
		t[i][0][0] = 1 - q[i];
		t[i][0][1] = q[i];
		t[i][1][0] = 1 - p[i];
		t[i][1][1] = p[i];
	}
	t[n + 1][0][0] = t[n + 1][1][0] = 1;
	ST.init(n + 1);
	st.insert(make_pair(0, 0));
	st.insert(make_pair(n + 1, 0));
	double now = ST.getans(make_pair(0, 0), make_pair(n + 1, 0));
	cerr << now << endl;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		char opt[15]; int x;
		scanf("\n%s%d", opt, &x);
		if (opt[0] == 'a') {
			int y; read(y);
			pair <int, int> tmp = make_pair(x, y);
			auto suf = st.lower_bound(tmp), pre = suf; pre--;
			now -= ST.getans(*pre, *suf);
			now += ST.getans(*pre, tmp);
			now += ST.getans(tmp, *suf);
			st.insert(tmp);
		} else {
			pair <int, int> tmp = make_pair(x, 0);
			auto pos = st.lower_bound(tmp), pre = pos, suf = pos; suf++, pre--;
			now += ST.getans(*pre, *suf);
			now -= ST.getans(*pre, *pos);
			now -= ST.getans(*pos, *suf);
			st.erase(pos);
		}
		printf("%.10lf\n", now);
	}
	return 0;
}