【51Nod1965】奇怪的式子

最新推荐文章于 2021-07-23 11:12:16 发布
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这篇博客探讨了一个涉及质数和数论的奇异表达式求解问题。作者使用了约数个数公式和莫比乌斯反演，通过分块处理大于平方根的质数，最终给出O(N^(3/4))的复杂度解决方案。文章详细阐述了思路和代码实现，适合对数论和算法感兴趣的读者。

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【题目链接】

【思路要点】

  • 分两步做，首先，我们来看如何求 ∏Ni=1d(i)i ∏ i = 1 N d ( i ) i

  • 考虑约数个数公式，我们来枚举每一个质数次幂的贡献，令 sum(i)=∑Ni=1i=N(N+1)2 s u m ( i ) = ∑ i = 1 N i = N ( N + 1 ) 2 ，有：

    ∏Ni=1d(i)i=∏p is a prime∏pk≤N(k+1)cnt ∏ i = 1 N d ( i ) i = ∏ p   i s   a   p r i m e ∏ p k ≤ N ( k + 1 ) c n t

    其中 cnt=pk∗sum(⌊Npk⌋)−pk+1∗sum(⌊Npk+1⌋) c n t = p k ∗ s u m ( ⌊ N p k ⌋ ) − p k + 1 ∗ s u m ( ⌊ N p k + 1 ⌋ )

    注意由于 Mod=1012+39

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51nod - 1376 - 最长递增子序列的数量
m0_46082460的博客
04-15 320
题意： 1376 最长递增子序列的数量 数组A包含N个整数（可能包含相同的值）。设S为A的子序列且S中的元素是递增的，则S为A的递增子序列。如果S的长度是所有递增子序列中最长的，则称S为A的最长递增子序列（LIS）。A的LIS可能有很多个。例如A为：{1 3 2 0 4}，1 3 4，1 2 4均为A的LIS。给出数组A，求A的LIS有多少个。由于数量很大，输出Mod 1000000007的结果即可。相同的数字在不同的位置，算作不同的，例如 {1 1 2} 答案为2。 输入 第1行：1个数N，表示数组的长度
51nod P3059 最近的一对【STL】
JA_yichao欢迎你 cnblogs账号：https://www.cnblogs.com/mayichao/
01-20 253
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【51NOD 1965】奇怪的式子
05-18 769
Description ∏i=1nσ0(i)i+μ(i)mod(1012+39)∏i=1nσ0(i)i+μ(i)mod(1012+39)\prod_{i=1}^n\sigma_0(i)^{i+\mu(i)}\mod(10^{12}+39) σ(i)σ(i)\sigma(i)表示i的约数个数 Solution 本题要用Min_25筛， 本题要用LL*LL取模，恶心… 考虑把答案拆成两半计...
[51nod1965]奇怪的式子（Min_25筛）
weixin_33857679的博客
02-22 127
题面 传送门 题解 好毒啊……\(de\)了一个晚上的\(bug\)…… 题目所求为 \[\prod_{i=1}^n\sigma_0(i)^{\mu(i)+i}(mod\ 10^{12}+39)\] 那么我们把式子拆开来，变成 \[(\prod_{i=1}^n\sigma_0(i)^{\mu(i)})(\prod_{i=1}^n\sigma_0(i)^i)\] 左边 现在就是要求\(\prod_{...
51NOD1965：奇怪的式子
Cyhlnj
12-26 233
传送门 拆开变成 ∏i=1nσ0(i)μ(i)∏i=1nσ0(i)i\prod_{i=1}^{n}\sigma_0(i)^{\mu(i)}\prod_{i=1}^{n}\sigma_0(i)^{i}i=1∏n​σ0​(i)μ(i)i=1∏n​σ0​(i)i 考虑 ∏i=1nσ0(i)μ(i)\prod_{i=1}^{n}\sigma_0(i)^{\mu(i)}∏i=1n​σ0​(i)μ(i) 运用...
【51NOD1965】奇怪的式子（min_25筛）
ez_lcw的博客
07-23 162
一些记号： d(x)d(x)d(x) 表示 xxx 的因数个数。 如无特殊说明，以下记为 ppp 的变量的取值集合为质数集合。 为了方便，有时用 a/ba/ba/b 表示 ⌊ab⌋\lfloor\dfrac{a}{b}\rfloor⌊ba​⌋。 记模数为 PPP。 有个加号不太好处理，我们分开两部分来求：∏i=1nd(i)i\prod\limits_{i=1}^nd(i)^ii=1∏n​d(i)i 和 ∏i=1nd(i)μ(i)\prod\limits_{i=1}^nd(i)^{\mu(i)}i=1∏n
51nod1965. 奇怪的式子（min_25筛）
anzi3457的博客
01-09 174
题目链接 http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1965 题解 需要求的式子显然是个二合一形式，我们将其拆开，分别计算 \(\prod_\limits{i = 1}^n \sigma_0(i)^i\) 与 \(\prod_\limits{i = 1}^n \sigma_0(i)^{\mu(i)}\)，再将两部分乘起...
51nod:51nod.com的代码
05-03
51点 51nod.com的代码
leetcodeoj和leetcode-My51Nod:个人题解（画风和leetcode不一样的OJ网站）
07-07
【标题】 "LeetCode OJ和LeetCode-My51Nod:个人题解与开源系统解析" 在编程世界中，LeetCode是一个广受欢迎的在线编程挑战平台，它提供了丰富的算法题目供程序员们练习和提升自己的技能。LeetCode OJ（Online Judge...
[51nod1965]奇怪的式子
weixin_30385925的博客
04-12 124
noteskey 怎么说，魔性的题目...拿来练手 min_25 正好...吧 首先就是把式子拆开来算贡献嘛 \[ANS=\prod_{i=1}^n \sigma_0(i)^{\mu(i)} \prod_{i=1}^{n} \sigma_0(i)^{i}\] for left 前面的东西我们发现可以转化... \[\prod_{i=1}^n \sigma_0(i)^{\mu(i)}\] 因为 \...
【51nod1965】奇怪的式子（min_25筛）
zxyoi_dreamer的博客（不定期诈尸）
08-30 169
传送门 题解：咕咕咕 代码： #include<bits/stdc++.h> #define ll long long #define re register #define cs const using std::cerr; using std::cout; using pll=std::pair<ll,ll>; #define fi first #define ...
【51nod1965】奇怪的式子
weixin_30518397的博客
06-18 119
Portal --> 51nod1965 Solution 　　怎么说呢。。这题。。做的有点痛苦。。 　　首先看这个式子长得。。比较奇怪，指数里面那个加号有点烦人，而且这个函数不是一个积性函数也有点烦人，那就考虑把这个函数拆成两部分来算 \[ \prod\limits_{i=1}^{n}\sigma_0 (i)^{\mu (i)+i}=\prod\limits_{i=1}^{n}\sigma...
51nod 1965 奇怪的式子 —— min_25筛
aodan5477的博客
01-18 172
题目：http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1965 推式子就同这里：https://www.cnblogs.com/yoyoball/p/9196092.html 一开始想设 \( g(n,j) = \sum\limits_{i=1}^{n} [ min(i) >= p_{j} ] f(i) \)，其中...
【51NOD1965】奇怪的式子 min_25筛
weixin_30421809的博客
05-30 129
题目描述 　　给你\(n\)，求 \[ \prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)} \] 　　对\({10}^{12}+39\)取模。 　　\(\sigma_0(i)\)表示约数个数。 题解 　　把式子拆成两部分： \[ \prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)}=\prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i}\prod...
51nod 1965 奇怪的式子 min_25筛（扩埃筛）
litble的成(tui)长(fei)史
03-02 250
题目分析 首先式子可以写成∏i=1nσ0(i)i∏i=1nσ0(i)μ(i)\prod_{i=1}^n \sigma_0(i)^i \prod_{i=1}^n \sigma_0(i)^{\mu(i)}∏i=1n​σ0​(i)i∏i=1n​σ0​(i)μ(i)，然后分成两部分分别计算。 第一部分 也就是∏i=1nσ0(i)i\prod_{i=1}^n \sigma_0(i)^i∏i=1n​σ0​(i...
奇怪的等式
Be yourself.
11-28 1261
C/C++ 分式相等判断编程 蓝桥杯2013年的省赛题目 最近发现当时还是做错了 题目： 比如:(1/2)*( 5/4)=15/24 ;规律是:(i/j)*(a/b)=(10*i+a)/(10*j+b) ; 对于分子、分母都是 1~9 中的一位数的情况，还有哪些算式可以这样计算? 忘了一个条件: 显然，交换分子分母后，例如：4/1 乘以 5/8 是满足要求的，这算做不同的算式。
蓝桥杯 奇怪的算式
qq_46232829的博客
03-19 370
标题:奇怪的分式 上小学的时候，小明经常自己发明新算法。-次，老师出的题目是: 1￥4乘以8/5 小明居然把分子拼接在一起， 分母拼接在一起， 答案是: 18/45 (参 见图1. png)老师刚想批评他，转念-想， 这个答案凑巧也对啊，真是见鬼! 对于分子、分母都是1-9中的一位数的情况， 还有哪些算式可以这样计算呢? 请写出所有不同算式的个数(包括题中毕例的)。 显然，交换分子分母后，例如: ...
51nod 1847 奇怪的数学题
ZLH_HHHH的博客
10-22 1278
51nod 1847 奇怪的数学题原题链接： https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1847定义：sgcd(a,b)sgcd(a,b)为aa与bb的次大公约数f(a)f(a)为aa的次大约数sgcd(a,b)=f(gcd(a,b))sgcd(a,b)=f\big(gcd(a,b)\big)特别的：f(1)=0f
怪异，漂亮的几个数学恒等式（转）
addkpfk1986的博客
04-21 425
数学里的惊奇不少，一些恒等式是不能成立的，但是在特殊情况下，却能成立，在感到不可思议的同时，无不惊叹数学的魅力！一：可“约掉”指数的等式 如果学生做出下面的演算： 粗心的老师一定会一把“×”，但是仔细一算，上面的都是成立的。如果说是“碰巧”，又会有那么巧吗？看这几个式子的特点，我们可以做出如下猜想： 经演算，发现这个等式是恒成立的。只需将a，b代入不同的实数（不一定是整数）...
51nod3478代码
最新发布
07-28
题目 51nod 3478 涉及一个矩阵问题，要求通过最少的操作次数，使得矩阵中至少有 `RowCount` 行和 `ColumnCount` 列是回文的。解决这个问题的关键在于如何高效地枚举所有可能的行和列组合，并计算每种组合所需的操作次数。 ### 解法思路 1. **预处理每一行和每一列变为回文所需的最少操作次数**： - 对于每一行，计算将其变为回文所需的最少操作次数。这可以通过比较每对对称位置的值是否相同来完成。 - 对于每一列，计算将其变为回文所需的最少操作次数，方法同上。 2. **枚举所有可能的行和列组合**： - 由于 `N` 和 `M` 的最大值为 8，因此可以枚举所有可能的行组合和列组合。 - 对于每一种组合，计算其所需的最少操作次数，并取最小值。 3. **计算操作次数**： - 对于每一种组合，需要计算哪些行和列需要修改，并且注意行和列的交叉点可能会重复计算，因此需要去重。 ### 代码实现 以下是一个可能的实现方式，使用了枚举和位运算来处理组合问题： ```python def min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count): import itertools N = len(matrix) M = len(matrix[0]) # Precompute the cost to make each row a palindrome row_cost = [] for i in range(N): cost = 0 for j in range(M // 2): if matrix[i][j] != matrix[i][M - 1 - j]: cost += 1 row_cost.append(cost) # Precompute the cost to make each column a palindrome col_cost = [] for j in range(M): cost = 0 for i in range(N // 2): if matrix[i][j] != matrix[N - 1 - i][j]: cost += 1 col_cost.append(cost) min_total_cost = float('inf') # Enumerate all combinations of rows and columns rows = list(range(N)) cols = list(range(M)) from itertools import combinations for row_comb in combinations(rows, row_count): for col_comb in combinations(cols, col_count): # Calculate the cost for this combination cost = 0 # Add row costs for r in row_comb: cost += row_cost[r] # Add column costs for c in col_comb: cost += col_cost[c] # Subtract the overlapping cells for r in row_comb: for c in col_comb: # Check if this cell is part of the palindrome calculation if r < N // 2 and c < M // 2: if matrix[r][c] != matrix[r][M - 1 - c] and matrix[N - 1 - r][c] != matrix[N - 1 - r][M - 1 - c]: cost -= 1 min_total_cost = min(min_total_cost, cost) return min_total_cost # Example usage matrix = [ [0, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0] ] row_count = 2 col_count = 2 result = min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count) print(result) ``` ### 代码说明 - **预处理成本**：首先计算每一行和每一列变为回文所需的最少操作次数。 - **枚举组合**：使用 `itertools.combinations` 枚举所有可能的行和列组合。 - **计算成本**：对于每一种组合，计算其成本，并考虑行和列交叉点的重复计算问题。 ### 复杂度分析 - **时间复杂度**：由于 `N` 和 `M` 的最大值为 8，因此枚举所有组合的时间复杂度为 $ O(N^{RowCount} \times M^{ColCount}) $，这在实际中是可接受的。 - **空间复杂度**：主要是存储预处理的成本，空间复杂度为 $ O(N + M) $。 ### 相关问题 1. 如何优化矩阵中行和列的枚举组合以减少计算时间？ 2. 在计算行和列的交叉点时，如何更高效地处理重复计算的问题？ 3. 如果矩阵的大小增加到更大的范围，如何调整算法以保持效率？ 4. 如何处理矩阵中行和列的回文条件不同时的情况？ 5. 如何扩展算法以支持更多的操作类型，例如翻转某个区域的值？
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