【省内训练2018-10-26】游走-优快云博客

本文深入探讨了如何通过动态规划结合凸壳优化策略来解决一类特定的数学期望最大化问题。该方法将问题转化为寻找一系列点构成的凸壳，以最大化所形成的图形面积，从而达到优化目标。文章提供了详细的算法思路、公式推导及C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【思路要点】

考虑一个指数暴力，首先枚举每一个位置选择 “见好就收” 还是 “得寸进尺” 。
记 $E_i$ 表示从 $i$ 出发的期望收益。若在 $i$ 处选择 “见好就收” ，那么 $E_i=A_i$ ，否则，令 $i$ 之前第一个选择 “见好就收” 的点为 $p r e$ ，之后第一个选择 “见好就收” 的点为 $s u f$ ，有 $Ei=(i−pre)∗Asufsuf−pre+(suf−i)∗Apresuf−preE_i=\frac{(i-pre)*A_{suf}}{suf-pre}+\frac{(suf-i)*A_{pre}}{suf-pre}$ $(1)$ 。
$(1)$ 式的证明：
由题， $Ei=Ei−1+Ei+12E_i=\frac{E_{i-1}+E_{i+1}}{2}$ ，即 $E_{i+1}-E_i=E_i-E_{i-1}$ ， $E_{pre},E_{pre+1},...,E_{suf}$ 形成一个等差数列。
而 $E_{suf}=A_{suf},E_{pre}=A_{pre}$ ，因此 $E_i$ 可以由等差数列的性质计算得到。
因此，若我们选择的一系列点为 $i_1,A_{i_1}),(i_2,A_{i_2}),...(i_m,A_{i_m})$ ，在 $i_1,i_2$ 之间的点 $j$ 的 $E_j$ 恰好为 $i_1,A_{i_1}),(i_2,A_{i_2})$ 连线的横坐标为 $j$ 处的纵坐标，而方案的优劣直观地体现于 $i_1,A_{i_1}),(i_2,A_{i_2}),...(i_m,A_{i_m})$ 形成图形的面积的大小。
不难发现，选择一个凸壳是最优的。
时间复杂度 $O (N)$ 。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 5e5 + 5;
const int P = 998244353;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
struct info {int x; };
int n, inv[MAXN]; ll a[MAXN];
int ans[MAXN], q[MAXN], top;
int power(int x, int y) {
	if (y == 0) return 1;
	int tmp = power(x, y / 2);
	if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
	else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
int calc(int l, int r) {
	return (a[r] + (a[l] + a[r]) % P * inv[2] % P * (r - l - 1)) % P;
}
bool exclude(int x, int y, int z) {
	return (y - x) * (a[z] - a[x]) - (z - x) * (a[y] - a[x]) >= 0;
}
int main() {
	read(n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		read(a[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		inv[i] = power(i, P - 2);
	ans[1] = a[1] % P, q[top = 1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		while (top >= 2 && exclude(q[top - 1], q[top], i)) top--;
		q[++top] = i;
		int j = q[top - 1];
		ans[i] = (ans[j] + calc(j, i)) % P;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		printf("%d ", 1ll * ans[i] * inv[i] % P);
	return 0;
}