Zevalin的博客

（1）由于信号可视为自变量的函数，当自变量改变时，必然会使信号的特性相应地发生改变。（2）本节仅关注很有限但很重要的几种最基本的信号变换——时移、时间反转和时间尺度变换，这些变换只涉及自变量的简单变换，也就是时间轴的变换。（1）一个连续时间系统是这样的系统，输入该系统的信号是连续信号，系统产生的输出也是连续信号，系统的输入-输出关系可以表示为“。（2）一个离散时间系统是这样的系统，输入该系统的信号是离散信号，系统产生的输出也是离散信号，系统的输入-输出关系可以表示为“。

的响应就是系统对这些移位脉冲中的每一个响应加权后的叠加，而时不变性又意味着一个时不变系统对移位单位脉冲的响应就是未被移位的单位脉冲响应的移位，将这两点结合在一起，即可得到具有线性和时不变性的离散时间系统的卷积和表示。（3）对于线性时不变系统因果系统，在初始时刻当输入为0时，输出也为0，也就是说，其输出的初始状态为0，此时的输出常称为系统的零状态响应。（1）两个线性时不变系统级联后的冲激响应就是它们单个冲击响应的卷积（两个线性时不变系统级联后的单位冲激响应与它们在级联中的次序无关）。

（1）在研究线性时不变系统时，复指数信号的重要性在于这样一个事实，即一个线性时不变系统对复指数信号的响应也同样是一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化，如下所示，其中或是一个复振幅因子，一般来说是复变量s或z的函数。（2）一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数，而幅度因子称为系统的特征值。

（2）上面举例呈现出的对称性质可以推广到一般的傅里叶变换中，对于任何变换来说，在时间和频率变量互换之后都有一种对偶关系。（1）在第三章中有介绍到经典周期方波，其傅里叶级数系数为。只有有限个不连续点，并且在每个不连续点都必须是有限值。，这种关系可用来确定或联想到傅里叶变换的其它性质，如。，可以把傅里叶级数系数当成一个包络函数的样本，即。只有有限个最大值和最小值。②在任何有限区间内，③在任何有限区间内，

（1）如果的能量有限，也即平方可和，即，就可以保证是有限的。（2）如果绝对可和，即，也可以保证是有限的。（1）例1：（2）例2：（1）例1：

（1）根据拉普拉斯变换的卷积性质，一个线性时不变系统输入和输出的拉普拉斯变换是通过乘以系统单位冲激响应的拉普拉斯变换联系起来的，即，其中和分别是系统输入、输出和单位冲激响应的拉普拉斯变换。（2）当时，就是这个线性时不变系统的频率响应。在拉普拉斯变换的范畴内，一般称为系统函数或传递函数，线性时不变系统的很多性质都与系统函数在s平面的特性密切相关。（1）在此之前，本章提到的“拉普拉斯变换”全称为“双边拉普拉斯变换”，本节介绍的则是“单边拉普拉斯变换”。（2）一个连续时间信号。

摘要：z变换是离散时间信号分析的重要工具，其定义式为X(z)=∑x[n]z⁻ⁿ。收敛域(ROC)是z平面内使变换存在的环形区域，由极点界定。z变换具有线性、时移、尺度变换等性质。系统函数H(z)反映LTI系统特性，因果性要求ROC位于最外层极点外且包含∞，稳定性要求ROC包含单位圆。单边z变换适用于n≥0的信号，常用于求解非零初始条件的差分方程。零极点图可直观表示系统特性，有理系统函数的因果LTI系统稳定当且仅当所有极点模小于1。

离散的差分就是对一个向量（或者说数列）求后一项和前一项的差，举个例子，假设杭州9月31日起的日最低气温为22℃、17℃、16℃、14℃、17℃、18℃、19℃、18℃、14℃、17℃，要想求每天的最低气温变化差值，可以依次用后一项减前一项而得，这需要列出一条一条的式子，比较麻烦，对此可以考虑用一个有规律的矩阵计算差分（对计算机来说可提高计算速度），如下所示，其中最后一个值－17是一个无效值，因为17℃那天的后一天最低气温无从知晓，只能默认为0℃。

（1）自动控制理论是研究关于自动控制系统组成、分析和设计的一般性理论，是研究自动控制共同规律的技术科学。（2）自动控制指的是，在无人直接参与的情况下，利用控制装置，使工作机械或生产过程（被控对象）的某一个物理量（被控量）按预定的规律（给定量）运行。（3）最常见的控制方式有三种——开环控制、闭环控制和复合控制。

控制系统的数学模型，是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立控制系统的数学模型，通常采用解析法和实验法。①解析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理规律或化学规律分别列写相应的运动方程。②实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。（1）传递函数是在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。零初始条件有两方面含义：一是指输入作用是在。

在得到系统方框图的条件下，将每个方框中的元部件名称换成其相应的传递函数，并将所有变量用相应的拉氏变换表示，就转换成系统的结构图。②比较点和引出点的移动，包含比较点前移、比较点后移、引出点前移、引出点后移以及比较点与引出点之间的移动等不同情况。混合节点：指既有输入支路又有输出支路的节点，相当于结构图中的比较点或引出点，如上图的e节点。前向通路：指从源节点开始到阱节点终止，顺着信号流动的方向，且与其它节点相交不多于一次的通路。阱节点：指只有输入支路的节点，对应系统的输出信号，如上图的c节点。

时域法是控制系统分析的基础方法，其特点包括直观准确、提供完整时间响应信息，但计算较复杂。文章重点讨论了一阶和二阶系统的时域性能指标，如一阶系统的单调指数响应和二阶系统的过阻尼/欠阻尼特性。对于欠阻尼二阶系统，详细分析了动态性能指标（上升时间、峰值时间等）与系统参数的关系，并探讨了改善性能的措施。同时指出闭环零极点对系统响应的不同影响：零点会改变模态权重使响应加快但超调增大，极点则延缓响应但减少超调。全文通过典型实例阐明了时域分析的核心要点。

（1）校正指的是采用适当方式，在系统中加入一些结构和参数可调整的装置（校正装置），用以改善系统性能，使系统满足指标要求。（2）常见的校正方式有串联校正、反馈校正和顺馈（复合）校正，如下图所示。

（3）关于根轨迹对称性的一个定理：若开环零极点均为偶数个，且关于一条平行于虚轴的直线左右对称分布，则根轨迹一定关于该直线左右对称。由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点，一旦闭环极点确定以后，再补上闭环零点，系统性能便可以确定。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；根据幅值条件和相角条件可知，s平面上的某个点，只要满足相角条件，则该点必定在根轨迹上，至于该点所对应的。若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。

如果高阶系统闭环极点满足具有闭环主导极点的分布规律，就可以忽略非主导极点及偶极子的影响，把高阶系统简化为阶数较低的系统，近似估算系统性能指标，如不能化简，则参考第三章中“高阶系统的阶跃响应及动态性能”介绍的零点极点法对性能指标进行估算。增加一个开环极点会使系统的根轨迹向右偏移，此举会降低系统的稳定度，不利于改善系统的动态性能，而且开环负实极点离虚轴越近，这种作用越显著。增加一个开环零点会使系统的根轨迹向左偏移，此举可以提高系统的稳定度，有利于改善系统的动态性能，开环负实零点离虚轴越近，这种作用越显著。

的正弦信号时，该环节稳态响应的相位滞后30°，试确定环节的传递函数。（2）已知某环节的幅相特性曲线如下图所示，试确定环节的传递函数。总是可以分解出来的，所以频率特性的概念同样适合于不稳定系统。（1）已知某环节的幅相特性曲线如下图所示，当输入频率。（4）若系统不稳定，输出响应最终不可能达到稳态过程。线性控制系统在输入正弦信号时，其稳态输出随频率（为系统传递函数），这里省略推导过程，直接写出。系统的稳态正弦响应与输入正弦信号的复数比。（2）线性定常系统频率特性的定义是。（1）频率响应指的是。

②最小相角系统对数幅频特性与对数相频特性之间存在唯一的对应关系，可以相互确定，但非最小相角系统不具备这种性质。在右半s平面存在开环零、极点或带纯延时环节的系统称为“非最小相角系统”，否则为“最小相角系统”根据如下Bode图确定系统传递函数。非最小相角系统相角变化的绝对值一般比最小相角系统的大。（5）根据如下Bode图确定系统传递函数中的K。（1）根据如下Bode图确定系统传递函数。（2）根据如下Bode图确定系统传递函数。非最小相角系统未必不稳定。所对应的Bode图。所对应的Bode图。

（1）奈奎斯特稳定判据又称奈氏判据，表示为，只有当时，闭环系统才是稳定的。（代表系统不稳定，说明求解过程有误）（2）应用举例：（1）将奈氏判据引伸到Bode图上，就成为对数判据。（2）对数稳定判据在奈氏判据的基础上，有。（3）应用举例：（6）举例：（1）等M圆与等N圆：（2）Nichols图线：①等M圆是与开环幅相特性曲线配合使用的，而Nichols图线的等幅值图线（下图所示的蓝色线）则是配合开环对数频率特性曲线使用的。②等N圆是与开环幅相特性曲线配合使用的，而Nichols图线的等相角图线（下图所示的绿色

九、频率法串联校正1、相位超前校正2、相位滞后校正3、串联滞后-超前校正4、串联PID校正

（1）离散系统的定义：系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码的系统。（2）计算机控制系统是很常用的一种离散系统。①计算机控制系统的优点：[1]控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律。[2]数字传递可有效抑制噪声，抗干扰性强。[3]便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。[4]一机多用，一台计算机分时控制若干个系统，利用率高。②计算机控制系统的缺点：[1]采样点间信息丢失，与相同条件下的连续系统相比，性能会有所下降。[2]需附加A/D（模数转换）、D/A（数模转换）装置。（3）计算机控制系统的结构

（1）闭环离散系统结构图形式并不唯一，下图是一种比较常见的误差采样闭环离散系统结构图，图中虚线所示的是“等效采样开关”，在系统中原本不存在但“等效存在”。线性定常离散系统稳定的充分必要条件是，系统闭环脉冲传递函数的全部极点均位于z平面的单位圆内，或者系统所有特征根的模均小于1。（1）如果一个线性定常离散系统的脉冲响应序列趋于0，则系统是稳定的，否则系统不稳定。④系统的脉冲传递函数是系统的单位脉冲响应序列的z变换。①脉冲传递函数是复变量z的复函数（一般是有理分式）。（3）有零阶保持器时：（以例子演示）

时系统的稳态误差终值，而不能提供误差随时间变化的规律，但通过动态误差系数法，可以获得稳态误差变化的信息。（1）对于一个稳定的线性离散系统，利用终值定理或静态误差系数法只能求出当时间。（1）设单位反馈的误差采样系统如下图所示（为简单起见，令。），系统误差脉冲传递函数为。

（1）非线性是宇宙间的普遍规律。（2）非线性系统的运动形式多样，种类繁多。（3）线性模型是实际系统在特定条件下的近似描述。

（1）PID是比例（Proportional）、积分（Integral）、微分（Differential）的缩写。（2）PID是一种闭环控制算法，它动态改变施加到被控对象的输出值（Out），使得被控对象某一物理量的实际值（Actual），能够快速、准确、稳定地跟踪到指定的目标值（Target）。（3）PID是一种基于误差（Error）调控的算法，规定“误差＝目标值－实际值”，PID的任务是使误差始终为0。

本文系统介绍了传递函数与闭环控制的核心概念。传递函数部分阐述了拉氏变换、频率响应、冲激响应的关系，指出传递函数是冲激响应的拉氏变换，并详细讲解了Bode图、零极点分析及其与系统稳定性的关联，同时介绍了MATLAB实现方法。闭环控制部分通过小球位置控制和电机调速案例，说明了闭环反馈的必要性，重点解析了PID控制器的三大要素：比例控制调节响应速度、微分控制抑制震荡、积分控制消除稳态误差。全文强调传递函数为线性系统分析提供了简化工具，而闭环控制则能有效提升系统抗干扰能力。

本文介绍了信号处理系统的基本概念和离散时间信号的分析方法。主要内容包括：1. 信号的分类方法（按维度、确定性、连续性划分）；2. 数字信号处理系统的组成和特点；3. 离散时间信号的表示方法（数列、函数、图形等）和基本运算（求和、乘积、移位等）；4. 典型序列（单位抽样、单位阶跃、矩形序列等）的特性；5. 离散时间系统的线性性质、移不变性质及时域求解方法；6. MATLAB实现序列运算的示例代码。文章系统性地阐述了数字信号处理的基础知识，为后续学习提供了理论基础。

本文摘要：文章主要 本文主要介绍了信号处理中的两个核心内容：常系数线性差分方程和连续时间信号的抽样。。 常系数线性差分方程部分阐述了表达形式、四种求解方法（经典解法、递推法、变换域法和卷积法），并指出差分方程表示法可直接获得系统运算结构的优点。 连续时间信号抽样部分重点介绍了时域采样定理、采样信号频域变化规律、采样定理应用以及信号恢复方法。 最后简要说明了模拟信号数字处理的四个环节：前置滤波、./D转换、数字信号处理和D./A转换恢复，分析了理想与实际方案在处理采样间隔不同时的差异。

【摘要】本文系统介绍了离散信号与系统分析中的核心数学工具。第一部分重点讲解z变换，包括其定义、收敛域、反变换方法（留数法/部分分式法/幂级数展开法）及线性/移位等基本性质。第二部分阐述离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义及其共轭对称特性。第三部分探讨系统函数与系统因果性、稳定性的关联。第四部分解析系统频率响应的物理意义，特别是固定频率输入时的系统响应特性。全文通过数学推导与实例相结合的方式，构建了离散信号处理的完整理论框架。

两个不同频率的音频信号进行线性叠加，可以生成不同频谱的信号，比如座机中的按键，每个按键音色相似，但因为频率不同，每个键音也会有所差异，它就是通过双音多频信号实现的，如下图所示。若想使设计的滤波器突出某个频率（使该频率信号尽量无衰减的通过），应在单位圆内相应的频率处设置一个极点，极点越接近单位圆，在该频率处的幅频响应幅值越大。（1）在电路中，当激励的频率等于电路的固有频率时，电路电磁振荡的振幅也将达到峰值，这个频率便称为谐振频率，对应到数字信号处理中，均等于常数，或者等于1，则该滤波器称为全通滤波器，

（1）周期序列只有有限个序列值有意义，对此可以把N点有限长序列看作是周期为N的周期序列的一个周期，就可以利用离散傅立叶级数DFS来计算了。

（1）单个蝶形运算推导：（2）假设对一个有限长序列进行8点DFT运算，借助频率抽取的基-2-FFT快速算法，其运算流图如下所示。

（1）数字滤波器（DF）作用是对输入信号进行滤波，换句话说，DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。（2）数字滤波器把输入序列通过一定的运算变换成输出序列，不同的运算处理方法决定了滤波器实现结构的不同。

（1）数字滤波器是输入输出均为数字信号，经过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。（2）数字滤波器的精度高、稳定、体积小、量轻、灵活，不要求阻抗匹配，能实现模拟滤波器（AF）无法实现的特殊滤波功能。（3）数字滤波器的分类：①从功能上可分为低通滤波器、带通滤波器、高通滤波器和带阻滤波器。②根据实现方法可分为IIR数字滤波器和FIR数字滤波器。③根据处理的信号类型可分为经典滤波器和现代滤波器。④根据设计方法可分为巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等。

理想带阻滤波器的频率响应可视为高通滤波器的频率响应与低通滤波器的频率响应相加，如下所示，即“带阻滤波器 ＝ 高通滤波器 ＋ 低通滤波器”理想高通滤波器的频率响应可视为全通滤波器的频率响应减去低通滤波器的频率响应，如下所示，即“高通滤波器 ＝ 全通滤波器 － 低通滤波器”（1）上面介绍窗函数法时都是以低通滤波器为例，不过另外三种滤波器都可以参考低通滤波器的设计方法设计出来，即求得理想单位抽样响应后将其与窗函数相乘。增加窗函数的长度（即增大N），会引起过渡带变窄，但主旁瓣能量比不变。（1）相比于IIR滤波器，

对此可考虑引入抽取系统，先让输入信号经过一个非理想的抗混叠滤波器，然后进行采样，采样后的信号必然会有频谱混叠现象，但只要保证混叠处的频率分量不是数字信号处理需要的频率分量，那么就可以使用一个截止频率为。语音系统往往需要处理各种频率的音频信号，它对抗混叠的需求也会比较高，然而理想的抗混叠滤波器（即使设计为模拟滤波器）很难实现，这就导致经过抗混叠滤波器处理过的信号仍然可能无法满足采样定理的要求。⑤对一个信号抽样时，若抽样率过高，必然会造成数据的冗余，这时希望能将该数字信号的抽样率减下来。

自动控制理论是研究控制系统结构、分析和综合的理论体系，旨在优化动态系统性能。其核心内容包括：通过数学模型描述系统结构，采用定量（如输出响应分析）和定性（稳定性判断）两种分析方法，以及系统综合设计。控制理论围绕两个基本主题展开：反馈控制（逐步逼近目标）和最优控制（一步到位优化）。经典控制理论主要处理单变量线性系统，采用频域法和图表工具；现代控制理论则扩展到多变量和非线性系统，以状态空间法、现代数学和计算机为主要手段，涵盖最优控制、智能控制等前沿领域。

摘要：本文系统介绍了控制系统的状态空间表达方法。首先分析了状态空间表达式与传递函数的区别，指出状态空间方法能揭示系统内部结构。然后详细阐述了状态变量的选取原则、状态空间表达式的建立方法（方框图法、机理法、传递函数转换法）及其非唯一性特征。接着讨论了状态向量的线性变换、系统特征值不变性以及规范型转换。最后介绍了从状态空间求传递函数矩阵的方法、组合系统的建模，以及离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空间表达形式。全文全面展现了现代控制理论中状态空间方法的核心内容与应用特点。

本文系统阐述了线性系统状态方程的求解方法。首先介绍了线性定常齐次状态方程的解，包括零输入响应和零状态响应的概念，以及矩阵指数函数的性质和计算方法。其次详细说明了状态转移矩阵的定义、性质及算法。然后探讨了线性定常系统非齐次状态方程的解，分析了对不同输入信号的响应特性。最后简要讨论了线性时变系统解的特点，指出其状态转移矩阵求解的理论意义大于实际计算价值。全文构建了完整的线性系统状态方程求解理论框架，为控制系统分析提供了重要数学工具。

本文系统阐述了控制系统中能控性与能观性的理论体系。首先定义了能控性和能观性的基本概念，重点分析了线性定常系统的三大判据（Gram矩阵判据、秩判据和PBH判据）及其证明过程。随后探讨了线性时变系统的能控能观性判据，并引入对偶原理揭示两者间的内在联系。文章还详细介绍了能控/能观标准型的变换方法及其不变性，最后阐述了状态空间的能控/能观分解原理。通过理论推导和实例分析，完整构建了系统能控性与能观性的判别框架，为控制系统分析与设计提供了重要理论基础。

摘要：本文系统介绍了李亚普诺夫稳定性理论及其应用。首先阐述了平衡状态定义及稳定性分类（稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定、不稳定）。重点讲解了两种判定方法：第一法通过特征值分析判断稳定性，第二法基于能量观点构建李亚普诺夫函数进行判定。文章详细说明了第二法的物理意义、主判据及辅助判据，并指出该方法对线性和非线性系统均适用，但存在构造Lyapunov函数的困难。最后介绍了该方法在线性系统（定常/时变）和非线性系统（雅克比矩阵法、变量梯度法）中的具体应用。全文从理论到实践完整呈现了Lyapunov稳定性分析框架。