电路分析第六章（一阶电路）

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本文详细阐述了一阶RC电路和RL电路在零输入、零状态及全响应下的行为，包括响应的指数衰减规律、时间常数的物理意义以及求解方法，重点介绍了三要素法在电路分析中的应用。

一、一阶电路的零输入响应

动态电路无外施激励电源，仅由动态元件的初始储能所产生的响应（电流和电压），称为动态电路的零输入响应。

1、一阶RC电路的零输入响应

（1）在下图所示的RC电路中，放电过程中电容电压的表达式为（ $U_{0}$ 为初始电压）

于是有

（2） $u_{c}$ 、 $i_{c}$ 都是按同样的指数规律衰减的，它们衰减的快慢取决于指数中RC的大小，换句话说就是仅取决于电路的结构和元件的参数。

（3）记 $\tau =RC$ ，τ称为时间常数。

①τ的大小反映了电路过渡过程时间的长短。τ越大，过渡过程时间越长，电压幅度衰减越慢；τ越小，过渡过程时间越短，电压幅度衰减越快。

②τ的物理意义： $U_{0}$ 衰减到0.368 $U_{0}$ 所需的时间。

③理论上，t=∞时 $u_{c}$ 才能衰减为零。工程上认为，经过3τ～5τ的时间后过渡过程结束，因为经历5τ的时间， $u_{c}$ 已衰减为初始值的0.7%），所以电路的时间常数决定了零输入响应衰减的快慢，时间常数越大，衰减越慢，放电持续的时间越长。

（4）当电压初值一定时：

①电容C越大（电阻R一定），储能越大，放电时间越长。

②电阻R越大（电容C一定），放电电流越小，放电时间越长。

2、一阶RL电路的零输入响应

（1）下图所示电路开关S动作之前电压和电流已恒定不变，开关此时接在1端，在 $t=0$ 时刻将开关拨到2端，接下来电感电流的表达式为（ $I_{0}$ 为初始电流）

于是有

（2）记 $\tau =L/R$ ，τ称为时间常数。τ的大小反映了电路过渡过程时间的长短。τ越大，过渡过程时间越长，电流幅度衰减越慢；τ越小，过渡过程时间越短，电流幅度衰减越快。

3、求解RC、RL电路的零输入响应方法

（1）经典法：根据换路后的电路列写微分方程，求对应齐次方程的通解，由初始条件确定积分常数，最后写出 $f(t)$ 。

（2）列标准式法：求初始值 $f_{0}$ ，求电路的时间常数，最后得到响应为 $f(t)=f_{0}e^{-\frac{t}{\tau }}$ 。

二、（恒定电源作用下）一阶电路的零状态响应

电路在零初始状态下（动态元件的初始储能为零）由外施激励引起的响应，称为零状态响应。

1、（恒定电源作用下）一阶RC电路的零状态响应

（1）在下图所示的RC电路中，充电过程中电容电压的表达式为

于是有

（2）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数，电容电压由稳态分量（ $U_{S}$ ，强制分量，简单说就是电容充满电后的电压值，电容充满电后可视作断路）和暂态分量（ $-U_{S}e^{-\frac{t}{RC}}$ ，自由分量）两部分构成：

2、（恒定电源作用下）一阶RL电路的零状态响应

（1）下图所示电路开关S动作之前电压和电流已恒定不变，开关此时闭合，没有电流流过电感和电阻，在 $t=0$ 时刻将开关断开，接下来电感电流的表达式为

（2）与恒定电源作用下一阶RC电路的零状态响应一样，电感电流也由稳态分量（ $I_{S}$ ，强制分量，简单说就是电感稳定后流经电感的电流，此时电感可视作短路）和暂态分量（ $-I_{S}e^{-\frac{t}{\tau }}$ ，自由分量）两部分构成。

三、（恒定电源作用下）一阶电路的全响应

1、全响应概述

（1）当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为一阶电路的全响应。

（2）下图所示电路为已充电的电容经过电阻接到直流电压源 $U_{S}$ 。设电容原有电压为 $U_{0}$ ，开关S闭合后，电容电压为

2、全响应的分解

（1）全响应也由稳态分量和瞬态（暂态）分量组成。

（2）全响应可认为是零输入响应和零状态响应之和，换句话说，全响应的公式同时适用于零输入响应和零状态响应。

3、三要素法

（1）全响应可以由初始值、特解和时间常数三个要素决定。若初始值为 $f(0_{+})$ 、特解为稳态解 $f(\infty )$ （也就是稳态分量）、时间常数为 $\tau$ ，则全响应 $f(t)$ 可写为

（2）只要知道初始值 $f(0_{+})$ 、特解稳态解 $f(\infty )$ 、时间常数 $\tau$ 这三个要素，就可以根据上式写出直流激励下一阶电路的全响应。

（3）三要素法不仅适用于一阶电路的全响应，而且适用于一阶电路的零输入响应和零状态响应。

（4）三要素法注意事项：

①如果求 $u_{C}(t)$ （RC电路）或 $i_{L}(t)$ （RL电路），直接求对应的三要素即可。

②如果求 $u_{C}(t)$ （RC电路）或 $i_{L}(t)$ （RL电路）之外的其它响应，可以先求出 $u_{C}(t)$ 或 $i_{L}(t)$ ，然后根据元件的伏安关系、KCL、KVL等规律得到其它响应，也可以直接求其它响应量的三要素。

（5）三要素法具体使用步骤：

①求初始值 $f(0_{+})$ ：若初始值未知，需要根据换路前电路求 $u_{C}(0_{-})$ （RC电路）或 $i_{L}(0_{-})$ （RL电路），再由换路定则得到 $u_{C}(0_{+})$ 或 $i_{L}(0_{+})$ ；其它初始值的计算在换路后电路中求得，此时将电容C看成电压源（电压为 $u_{C}(0_{+})$ ）、电感L看成电流源（电流为 $i_{L}(0_{+})$ ）即可。

②求时间常数 $\tau$ ： $\tau =R_{eq}C$ 或 $\tau =L/R_{eq}$ ， $R_{eq}$ 可通过求动态元件以外部分的戴维南等效电路的 $R_{eq}$ 得到。没有受控源，独立源置零，电阻串并联计算得到 $R_{eq}$ ；如有受控源，用外加电源法或开路短路法求得 $R_{eq}$ 。