信号与系统附录（抽象理论理解）

原创于 2025-09-21 12:01:38 发布 · 1.1k 阅读

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#信号与系统

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一、理解卷积

1、离散线性时不变系统通俗理解

（1）系统行为：

①某城市有一个招聘平台。

②每天凌晨两点半，平台投放若干岗位。

③次日凌晨两点半会统计招到的人数以及剩余的空闲岗位数量。

④空闲岗位会继续留在岗位池中等待求职者应聘。

（2）系统规律：

①如果只在第一天投放若干岗位，那么每一天招到的人数（即消耗的岗位数量）是当天空闲岗位数量的60%。

②岗位数量的变化规律和岗位本身数量的多少无关。

③一段时间内，每一天呈现的岗位数量变化规律是一样的。

（3）以上规律说明此系统的输入（投放岗位）和输出（剩余岗位）能够进行线性叠加，且输入输出的关系不随时间变化，因此该系统是一个线性时不变系统。

（4）系统的数学模型建立：

①以y[n]表示第n天的空闲岗位数量，可以建立数学模型：

②以x[n]表示第n天的投放的岗位数量，可以建立数学模型：

③x[n]与y[n]存在联系，把x[n]输入到系统中，可以计算出y[n]，此处的x[n]即冲激函数 $\delta [n]$ ，在单位冲激函数输入下系统的相应称为冲激响应，即 $h[n]=0.4^{n}$ 。

（5）情形代入：

在第0天投放10000个岗位，然后在第4天投放20000个岗位，再在第8天投放5000个岗位，根据情形可以列出如下方程进行求解，得到每天系统输出的剩余岗位数量

输入冲激函数时，系统会有相应的冲激响应输出，对此可以把系统任何不在第0天的输入都视为冲激函数的移位线性组合，于是可以得到x[n]的表达式，根据线性时不变系统性质，每个冲激函数对应一个冲激响应，于是可以得到y[n]的表达式，可见整个系统的输出其实是三个冲激响应输出的叠加

仔细观察求出系统输出的过程，可以得出如下关系式，也就是说，输入信号x[n]是经过线性移位的冲激信号的累加，输出信号y[n]是经过线性移位的冲激响应的累加

如果现在给定每天任意投放的岗位数量x[n]，根据上面得出的规律，即可得出离散卷积公式，如下所示

为了便于表达这个式子，将其记为 $y[n]=x[n]*h[n]=\sum_{k=0}^{+\infty }x[k]h[n-k]$ ，其中“*”为卷积符号，系统的输出等于系统输入和单位冲激响应的卷积，也就是说，线性系统的冲激相应完全反映了线性系统的特性

仔细观察，可发现冲激函数（包括经过移位的冲激函数）相当于起到了对系统输入筛选提取的作用，由此可见，系统的输入等于其自身和冲激函数的卷积，同时也说明了两点：

①任意函数和冲激函数的卷积等于其自身

②任意函数都可以表示为移位的冲激函数的线性组合

2、连续线性时不变系统通俗理解

（1）连续时间上的冲激函数的数学表达式是一个函数在0时刻的数值为无穷大，在非0时刻数值均为0， $\delta (t)=\left\{\begin{matrix} +\infty & ,t=0\\ 0 & ,t\neq 0 \end{matrix}\right.$ ，于是有 $\int_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)dt=1$ ，可借助极限的思想进行理解，将函数图像与时间轴形成的积分区域视为宽度无限小、高度无限大的面积为1的矩形，于是引出问题——此面积的意义是什么。

（2）系统行为：

（3）情形代入：

二、理解傅里叶变换

1、前置知识储备——线性代数

2、向量和函数内积的理解

3、积分变换的理解

4、复变函数的内积

5、机电系统微分方程建模

6、微分和积分的矩阵理解

离散的差分就是对一个向量（或者说数列）求后一项和前一项的差，举个例子，假设杭州9月31日起的日最低气温为22℃、17℃、16℃、14℃、17℃、18℃、19℃、18℃、14℃、17℃，要想求每天的最低气温变化差值，可以依次用后一项减前一项而得，这需要列出一条一条的式子，比较麻烦，对此可以考虑用一个有规律的矩阵计算差分（对计算机来说可提高计算速度），如下所示，其中最后一个值－17是一个无效值，因为17℃那天的后一天最低气温无从知晓，只能默认为0℃

从上面的例子中可得知，差分的本质是一个主对角线两侧排满1和－1，其它位置均为0的矩阵

离散的求和就是求一个向量（或者说数列）前n项的和，再举个例子，假设某位同学国庆期间每天的开销分别为85$、200$、160$、100$、60$、75$、50$，要求他这七天的累计开销，可以逐项进行求和，第一项加上第二项求和，再将求和结果加上第三项，以此往复，很显然这也稍微麻烦了一点，对此可以考虑用一个有规律的矩阵计算求和（对计算机来说可提高计算速度），如下所示

从上面的例子中可得知，求和的本质是一个下三角矩阵

继续抽象下去，求导的本质就是在无限密集情况下的差分，积分的本质就是在无限密集情况下求和，再结合之前的推导，差分和求和都是矩阵，而函数的本质是无穷维的向量，那么可以得出，求导和积分的本质是无穷维的矩阵

7、特征向量、求导和积分矩阵的特征函数

8、三角函数和复指数的关系

9、复指数做特征向量的应用

10、特征函数解线性微分方程

11、复指数做正交基的前提

12、周期函数的频率分解

13、正弦、余弦基的傅里叶级数

14、傅里叶级数到傅里叶变换

15、傅里叶变换公式推导

16、傅里叶变换和积分变换的对应关系

三、理解拉氏变换

1、MATLAB手搓傅里叶变换

为了让计算机能够计算傅里叶变换，首先需要将连续积分化为数值积分，也即将它们离散化

%创建变量
time = -2:0.001:2;
freq = -10:0.01:10;

%func为需要做傅里叶变换的函数
func = zeros(1, length(time));
for i = 1501:2501
    func(i)=1;
end

%积分运算
FTreal = zeros(1, length(freq));
FTimag = zeros(1, length(freq));
for i = 1:length(freq)
    for n = 1:length(time)
        FTreal(i) = FTreal(i)+func(n)*cos(2*pi*freq(i)*time(n))*0.001;
        FTimag(i) = FTimag(i)+func(n)*sin(2*pi*freq(i)*time(n))*0.001;
    end
end

%绘制频谱图
plot3(freq, FTreal, FTimag, '-k', 'Linewidth', 2);
axis([-10 10 -2 2 -2 2]);
xlabel('频率');ylabel('实部');zlabel('虚部');grid on