信号与系统第二章（线性时不变系统）

Zevalin爱灰灰

于 2024-10-04 11:01:00 发布

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分类专栏：信号与系统笔记文章标签：信号与系统

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一、离散时间线性时不变系统——卷积和

1、用脉冲表示离散时间信号

（1）可以把任何离散时间信号 $x[n]$ 看成由若干个离散时间单位脉冲 $\delta [n]$ 构成，即 $x[n]=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }$ ，其中 $x[k]$ 是单位脉冲的加权， $\delta [n-k]$ 是经过时移的单位脉冲。

（2）下图中展示了 $x[n]$ 如何分解为若干个加权移位的单位脉冲（没有把所有分解的脉冲一一列出，仅列出5个）。

2、离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应及卷积和表示

（1）一个线性系统对 $x[n]$ 的响应就是系统对这些移位脉冲中的每一个响应加权后的叠加，而时不变性又意味着一个时不变系统对移位单位脉冲的响应就是未被移位的单位脉冲响应的移位，将这两点结合在一起，即可得到具有线性和时不变性的离散时间系统的卷积和表示。

（2）定义系统单位脉冲（样本）序列响应为 $h[n]$ ，它是线性时不变系统当输入为 $\delta [n]$ 时的输出，那么线性时不变系统的输出就变成 $y[n]=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x[k]h[n-k]$ ，这个结果称为卷积和或叠加和，等号右边的运算称为 $x[n]$ 和 $h[n]$ 的卷积，并记为 $y[n]=x[n]*h[n]$ 。

（3）一般来说，对于两个有限长的序列 $x[n]$ 和 $h[n]$ ，若二者的长度分别为 $N_{1}$ 、 $N_{2}$ ，则序列 $y[n]=x[n]*h[n]$ 的长度为 $N_{1}+N_{2}-1$ 。

（4）举例：

二、连续时间线性时不变系统——卷积积分

1、用冲激表示连续时间信号

（1）用一串脉冲（或者说阶梯信号） $\hat{x}(t)$ 来近似 $x(t)$ ，对于近似式 $\hat{x}(t)$ 来说，可以用一串延迟脉冲 $\delta _{\Delta }(t)$ 的线性组合来表示，由于 $\Delta \delta _{\Delta }(t)=1$ ，则 $\hat{x}(t)=\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x(k\Delta )\delta _{\Delta }(t-k\Delta )\Delta$ ，随着 $\Delta$ 趋近于0， $\hat{x}(t)$ 将越来越近似于 $x(t)$ ，则 $x(t)=_{\Delta \rightarrow 0}^{lim}\textrm{}\sum_{k=-\infty }^{+\infty }x(k\Delta )\delta _{\Delta }(t-k\Delta )\Delta$ ，这已经趋近为一个积分式了，而 $\delta _{\Delta }(t)$ 的极限就是单位冲激函数 $\delta (t)$ ，由此可得 $x(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$ 。

（2）下图展示了 $x(t)$ 如何分解为若干个加权移位的延迟脉冲（没有把所有分解的脉冲一一列出，仅列出5个）。

（3）下图展示了求和式向积分式演变的过程。

2、连续时间线性时不变系统的单位冲激响应及卷积积分表示

（1）有了离散时间情况的经验，可以得出一个线性系统对信号 $\hat{x}(t)$ 的响应 $\hat{y}(t)$ 是基本脉冲信号 $\delta _{\Delta }(t)$ 的加权和移位的叠加，由此可得到具有线性和时不变性的连续时间系统的卷积积分表示。

（2）定义单位冲激响应为 $h(t)$ ，它是线性时不变系统当输入为 $\delta (t)$ 时的输出，那么线性时不变系统的输出就变成 $y(t)=\int_{-\infty }^{+\infty }x(\tau )h (t-\tau )d\tau$ ，这个结果称为卷积积分或叠加积分，等号右边的运算称为 $x(t)$ 和 $h(t)$ 的卷积，并记为 $y(t)=x(t)*h(t)$ 。

（3）举例：

①数值法：

②图解法：

三、线性时不变系统的性质

1、交换律性质

（1）一个单位冲激响应是 $h(t)$ 或 $h[n]$ 的线性时不变系统对输入信号 $x(t)$ 或 $x[n]$ 所产生的响应，与一个单位冲激响应是 $x(t)$ 或 $x[n]$ 的线性时不变系统对输入信号 $h(t)$ 或 $h[n]$ 所产生的响应相同。

（2）根据上述可得

2、分配律性质

（1）两个线性时不变系统并联，其总的单位脉冲（冲激）响应等于各子系统单位脉冲（冲激）响应之和。

（2）根据上述可得

3、结合律性质

（1）两个线性时不变系统级联后的冲激响应就是它们单个冲击响应的卷积（两个线性时不变系统级联后的单位冲激响应与它们在级联中的次序无关）。

（2）根据上述可得

4、有记忆和无记忆线性时不变系统

（1）对一个无记忆的离散时间线性时不变系统来说，其单位冲激响应为 $h[n]=K\delta [n]$ ，其中 $K=h[0]$ 是一个常数，卷积和则为 $y[n]=Kx[n]$ 。

（2）对一个无记忆的连续时间线性时不变系统来说，其单位冲激响应为 $h(t)=K\delta (t)$ ，其中 $K=h(0)$ 是一个常数，卷积和则为 $y(t)=Kx(t)$ 。

（3）如果某个系统在 $t\neq 0$ 或 $n\neq 0$ 时刻有 $h(t)\neq 0$ 或 $h[n]\neq 0$ ，说明该系统是有记忆系统。

5、线性时不变系统的可逆性

（1）给定一个可逆的系统，其冲激响应是 $h(t)$ ，逆系统的冲激响应是 $h_{1}(t)$ ，它的输出是 $\omega (t)=x(t)$ ，两个系统级联，就等效于一个恒等系统（输入等于输出），恒等系统的冲激响应是单位冲激函数。

（2）根据上述可得

6、线性时不变系统的因果性

（1）对一个因果离散时间线性时不变系统来说，其单位冲激响应应满足 $h[n]=0\, (n<0)$ 。

（2）对一个因果连续时间线性时不变系统来说，其单位冲激响应应满足 $h(t)=0\, (t<0)$ 。

（3）对于线性时不变系统因果系统，在初始时刻当输入为0时，输出也为0，也就是说，其输出的初始状态为0，此时的输出常称为系统的零状态响应。

7、线性时不变系统的稳定性

（1）如果一个离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应是绝对可和的，即 $\sum_{k=-\infty }^{+\infty }|h[k]|<\infty$ ，那么 $y[n]$ 就是有界的，该系统稳定。

（2）如果一个连续时间线性时不变系统的单位脉冲响应是绝对可积的，即 $\int_{-\infty }^{+\infty }|h(\tau )|d\tau <\infty$ ，那么 $y(t)$ 就是有界的，该系统稳定。

8、线性时不变系统的单位阶跃响应

（1）除了单位冲激响应，单位阶跃响应 $s[n]$ 或 $s(t)$ 也常用来描述线性时不变系统的特性，它们是当 $x[n]=u[n]$ 或 $s(t)=u(t)$ 时的系统输出响应。

（2）单位阶跃响应有如下性质：

四、用微分方程和差分方程描述的因果线性时不变系统

1、线性常系数微分方程和线性常系数差分方程

2、用微分方程和差分方程描述的一阶系统的方框图表示

（1）对一阶差分方程 $y[n]+ay[n-1]=bx[n]$ ，需要相加、系数相乘和单位延迟三种基本运算，下图列出了这三种运算对应的基本网络单元，然后再把差分方程写成递归算法形式，即 $y[n]=-ay[n-1]+bx[n]$ ，如此即可用方框图形象化地表示出来。

（2）对一阶微分方程 $\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=bx(t)$ ，需要相加、系数相乘和微分三种基本运算，下图列出了这三种运算对应的基本网络单元，然后再把微分方程改写，将输出挪到右边，即 $y(t)=-\frac{1}{a}\frac{dy(t)}{dt}+\frac{b}{a}x(t)$ ，如此即可用方框图形象化地表示出来。

（3）在实际应用中，微分器难以实现，并且它对误差和噪声极为灵敏，所以一般需要采用积分器替代之，首先将上面的微分方程改写为 $\frac{dy(t)}{dt}=bx(t)-ay(t)$ ，然后从 $-\infty$ 到t积分，假设该方程描述的系统是松弛的，那么 $y(-\infty )=0$ ，可得 $y(t)=\int_{-\infty }^{t}|bx(\tau )-ay(\tau )|d\tau$ ，如此即可用方框图形象化地表示出来。