gitlab7runner的博客

本文研究了基于单项式 $x^i$ 在有限域 $F_q$ 上实现的置换的循环分解结构，给出了置换分解为等长循环的充要条件，并刻画了具有特定固定元素（如0、1、-1）的置换特征。通过数论工具，包括欧拉函数、元素阶和同余分析，建立了相关判定定理与计数公式。文章进一步将此类置换应用于Turbo码交织器的构造，提出了一种确定性生成方法，利用满足条件的指数 $i$ 构建具有优良循环结构的交织器。结合中国剩余定理，可高效求解符合条件的单项式。研究表明，这类代数构造的交织器在性能上可媲美随机设计，且更易于分析与实现，为纠错

本文探讨了向量函数覆盖序列与有限域中uq-尖锐子集的理论及其应用。在向量函数方面，介绍了覆盖序列和广义覆盖序列的概念，展示了其在密码分析中构造有效区分器的优势；在有限域方面，定义了uq-尖锐子集并研究了其性质，利用该概念给出了经典Cauchy-Davenport定理的新证明。文章还提出了未来研究方向，包括广义覆盖序列的计算方法、uq-尖锐多项式的构造及判定条件等开放问题。

本文系统探讨了向量函数的覆盖序列理论及其在密码分析中的应用，重点分析了覆盖序列的基本性质、稳定性以及在组合与拼接函数中的传递性。通过推论与命题的形式揭示了覆盖序列在迭代分组密码中的结构特征，并深入阐述了如何利用覆盖序列构建鉴别器以实施最后一轮攻击。文章还讨论了覆盖序列对密码系统安全性的影响，提出了多样化覆盖序列、增强非线性和定期更新算法等提升安全性的策略，并结合AES与DES进行了实际案例分析，为密码设计与分析提供了理论支持与实践指导。

本文系统研究了高非线性弹性向量函数的多种构造方法，包括构造2、Zhang和Zheng的构造、Gupta和Sarkar的构造等，分析了各自的优缺点与适用条件。深入探讨了当 $m > n/2$ 时的向量Maiorana-MacFarland函数类 $M_{n,m}^\star$ 的结构与性质，并引入覆盖序列理论，揭示其与函数平衡性、弹性和沃尔什变换之间的内在联系。进一步讨论了构造方法的复杂度、优化策略及其在密码学中的应用，提出了未来在构造创新、覆盖序列性质挖掘与跨领域应用方面的研究方向。

本文研究了向量Maiorana-MacFarland函数在密码学中的关键性质，将布尔函数的相关理论扩展到多输出情况，深入分析了函数的弹性、非线性度等安全指标，并提出了两种构造高弹性和高非线性度向量函数的方法。同时，推广了覆盖序列的概念，揭示其在攻击迭代分组密码中的应用。研究成果为设计安全高效的流密码和分组密码提供了理论支持与实践指导。

本文研究了有限域上的本原多项式与向量函数，探讨了在不同素数幂q下本原多项式的存在性条件，并利用引理分析和筛法技术结合MAPLE工具进行验证。针对q2,3,4,5及q≥7的情况，分别推导出相关定理成立的条件，并通过数值计算与因式分解验证结果。同时，文章还讨论了向量函数在分组密码和流密码中的应用，强调其在抵抗线性与差分攻击中的重要性。研究成果为密码系统的设计提供了理论支持。

本文研究了小域上的本原多项式，特别是针对二进制域 $F_2$、三元域 $F_3$ 以及素数幂 $q > 3$ 的有限域 $F_q$，证明了在部分系数预先指定的情况下仍存在本原多项式的若干定理。通过引入 p-进环中的对称函数与幂和理论，结合牛顿恒等式、乘法与加法特征的估计方法，文章给出了在前 $m$ 个或后 $m$ 个系数被指定时本原多项式存在的充分条件，并分别在不同域上实现了 $m \leq n/4$ 或 $m \leq n/3$ 的构造结果。此外，文章还讨论了这些理论在密码学与编码理论中的潜在应用，并提出

本文研究了ZZp²上的格雷映射、(u|u + v)构造与循环码之间的关系。通过定义广义格雷映射和推广(u|u + v)构造，揭示了ZZp²-码D的格雷映射像Φ(D)与Fp-线性码Ci之间的内在联系，并证明在特定条件下，由Fp-循环码C1,...,Cp构建的ZZp²-码D经过格雷映射和p-置换的逆后，可得到由多项式g₁^p g₂^{p−1}⋯g_p生成的重根循环码C。文章结合理论分析与具体示例（如p3,n4和p5,n11），验证了该构造方法的有效性，并总结了其在编码结构、性能分析及应用前景方面的潜在价值。

本文深入研究了有限域多项式与格雷映射在编码理论中的应用。探讨了多项式的不可分解性、避免特定值、无重数可被3整除的因子以及判别式等性质，并分析了交替群An与对称群Sn作为伽罗瓦群出现的条件。进一步，介绍了格雷映射与'(u|u+v)-构造'的关系，揭示了其与二元及Z_{p^2}上循环码的等价性。通过引入p-置换（推广的Nechaev置换），建立了Z_{p^2}码的格雷映射图像与重复根F_p循环码之间的联系，并给出了具体实例。研究成果为编码构造提供了理论支持，具有重要的应用价值和发展前景。

本文研究了特定参数下本原三元BCH码的覆盖半径问题，主要针对设计距离δ8和δ14的情况。通过将编码理论问题转化为有限域上的多项式分裂问题，并结合伽罗瓦理论与Newton恒等式，构造相关多项式并分析其分裂性质。利用引理2和引理3作为核心工具，分多种情况讨论并证明：当m≥20（m为偶数）时，δ8对应的码覆盖半径为7；当m≥46时，δ14对应的码覆盖半径为13。研究改进了前人方法，避免了对计算机辅助的依赖，并给出了明确的理论下界，为编码理论中覆盖半径的研究提供了新的思路与结果。

本文研究了有限域上代数函数域塔的显式构造方法，重点探讨了通过递归方程定义的两类重要塔：费马塔和相对无分歧塔。文章给出了塔能够被递归定义的充分条件，包括基于完全分歧位的定理1和基于惰性位的定理2，并应用于分析形如 $y^m a(x + b)^m + c$ 的费马塔以及 $y^m 1 - \frac{x^m}{(x - 1)^m}$ 的新类塔。文中证明了这些塔在特定条件下的渐近良好性质，计算了其极限下界，并讨论了分歧结构、常数域不变性、完全分裂位数量等关键特征，结果对编码理论特别是代数几何码的构造具有重要意

本文研究了无奇异子矩阵的矩阵构造方法及其在快速系统MDS擦除码设计中的应用，提出基于范德蒙德矩阵和有限域元素优化的编码解码方案，并分析了其优于柯西矩阵构造的复杂度优势。同时探讨了有限域上全局函数域的处处分歧塔构造，证明了存在满足渐近正信息率（lim N_i/d_i > 0）和有限亏格增长（lim g_i/d_i < ∞）的塔结构，给出了关键引理与定理的严格推导。最后提出了将两类构造结合的开放问题，对编码理论与代数曲线理论具有重要意义。

本文探讨了互无偏基在素数幂和非素数幂维度下的构造方法及其在量子信息理论中的应用，包括基于有限域和有限伽罗瓦环的构造技术，并分析了当维度不是素数幂时互无偏基数目的下界与相关猜想。同时介绍了无奇异方子矩阵的矩阵构造在系统MDS擦除码设计中的作用，提出了利用矩阵形式A^{-1}B构建此类矩阵的新方法。文章还总结了不同情况下的构造策略并推荐了互无偏基的应用场景。

本文探讨了双变量zeta函数在组合学中的应用及其与线性码、代数几何码的深刻联系，涵盖了支持权重枚举器、二项矩和生成函数的理论推导，并通过定理揭示了zeta函数的结构特性。同时，文章介绍了相互无偏基在量子力学中的定义、性质及在量子信息领域的关键应用，如量子态重建与安全密钥分发，讨论了其在素数幂维度下的构造方法以及任意维度下最大数量的开放问题。研究成果对编码理论与量子信息科学具有重要意义。

本文探讨了双变量zeta函数在代数曲线与线性码中的组合数学应用，介绍了其与秩多项式、重量计数器及拟阵结构之间的深刻联系。通过定义和计算线性码的zeta函数，结合格林定理与归一化秩函数，揭示了编码结构的内在规律。文章还总结了相关操作步骤，对比了曲线与码的对应概念，并展望了在更广泛拟阵类型、高维情形以及编码优化和密码学中的潜在应用。

本文探讨了拟阵理论在组合数学中的核心作用，并通过其与图、线性码及代数曲线的深刻联系，揭示了双变量zeta函数的统一框架。文章介绍了拟阵的基本概念与性质，包括独立集、基、对偶拟阵和秩多项式，并展示了其在图的模m流与着色问题中的应用。进一步，通过Greene定理建立了线性码的权重枚举器与拟阵秩多项式的关系，并引入双变量zeta函数描述码在扩域上的分布特性。最后，借助Deninger变换将拟阵的归一化秩函数与代数曲线的Pellikaan zeta函数相联系，展现了跨领域的数学结构一致性。

本文系统探讨了有限域上随机多项式的结构特性及其在组合数学与密码学中的应用。通过生成函数与渐近分析方法，深入研究了多项式不可约因子的分布规律、因式分解算法（ERF、DDF、EDF）的平均情况性能，并分析了其在离散对数求解中的关键作用。文章还总结了当前研究的主要成果，包括Golomb常数、Dickman函数的应用以及Waterloo算法等，并指出了多项式求根、gcd计算、多变量多项式分析等多个有待深入探索的方向，为后续理论发展和算法优化提供了重要基础。

本文深入探讨了有限域上随机多项式的特性，涵盖其不可约因子分解行为、在算法设计中的应用及平均情况分析。利用生成函数与渐近分析工具，研究了无平方因子多项式数量、不可约因子期望个数、最小/最大次数因子分布等统计性质。重点分析了Rabin和Ben-Or不可约性测试算法，以及Berlekamp和Cantor-Zassenhaus因式分解算法的原理与性能。此外，探讨了随机多项式在离散对数求解和公钥密码体制中的关键作用，并展望了未来在算法优化与量子安全密码学中的研究方向。

本文研究了伪随机数序列中的格轮廓与线性复杂度轮廓之间的内在关系，揭示了二者在序列结构分析中的等效性与动态联系，并通过多个引理和推论建立了相互推导的理论框架。同时探讨了射影空间 PG(3, q) 中的辛展开及其与置换多项式的紧密关联，介绍了已知的辛展开实例，并分析了可分多项式在其中的作用。此外，文章还提出通过Δ类减少置换多项式验证数量的方法，提升了研究效率。这些理论对密码学、序列设计及代数几何等领域具有重要意义。

本文探讨了线性反馈移位寄存器（LFSRs）与线性变换移位寄存器（TSRs）在有限域上的构造及其关联多项式的互不可约性，重点分析了LFSRs的平凡与非平凡配对机制，并给出了配对多项式的生成方法。同时研究了伪随机数序列的线性复杂度和格轮廓的概念、性质及其相互关系，揭示了二者在评估序列随机性中的重要作用。通过这些理论分析，为高效构造安全的伪随机数生成器提供了数学基础，适用于密码学、蒙特卡罗模拟等领域，并提出了未来关于线性分数变换影响与不变多项式刻画的研究方向。

本文介绍了一种改进的超椭圆曲线上的卡蒂尔-马尼恩算子计算方法，通过引入线性递归序列、提升到特征零和固定精度计算等技术，显著降低了点计数算法的复杂度。该方法在小亏格情况下优于传统算法，并通过实际数值示例验证了其复杂度分析的有效性。算法在密码学中具有重要应用价值，可用于快速确定曲线雅可比簇的群阶，保障密码系统的安全性，同时为代数几何研究提供了有效工具。

本文探讨了多项式多点求值与线性递归序列高效计算的核心算法。首先介绍了在等差数列上进行求值点平移的快速算法，其时间复杂度为 $M(2d) + O(d)$，优于通用多点求值方法。随后，基于该技术改进了Chudnovsky和Chudnovsky用于计算线性递归序列第$k$项的‘小步-大步’算法，通过避免多项式矩阵乘法，将时间复杂度从 $O(n^{\omega}M(\sqrt{k}))$ 降低至 $O(n^{\omega}\sqrt{k} + n^2 M(\sqrt{k})\log(k))$，空间复杂度也得到优化。

本文研究了特征为 $p^2$ 的顶部结合广义伽罗瓦环的左右循环条件，通过矩阵刻画和向量空间生成系的关系，给出了判断 $S^* RL_{\alpha}(e)$ 的充要条件，并证明了相关引理与定理。在带多项式系数的线性递归序列方面，改进了Chudnovsky和Chudnovsky的小步-大步算法，在时间与空间复杂度上实现了对数因子的优化。进一步地，将该算法应用于超椭圆曲线的卡蒂尔-马尼恩算子计算中，通过分析 $f^{(p-1)/2}$ 系数满足的线性递归关系，得到了计算哈塞-维特矩阵的高效算法，其复杂度与 $

本文系统研究了广义伽罗瓦环（GGR）的循环条件，重点探讨了右循环与右-左循环两种情形。在右循环GGR中，通过引入右本原半域和线性变换R_α，将元素右阶问题转化为有限环上矩阵的阶问题，并利用最大阶矩阵理论证明了奇特征下最大右阶元素的存在性。对于右-左循环顶结合GGR，提出了临界因子S_crit的概念，结合引理与命题建立了右-左循环性从临界因子提升的判定方法，给出了具体的判断流程。研究综合运用代数结构、矩阵理论与同余分析，深化了对GGR乘法结构的理解，为后续在密码学与编码理论中的应用奠定了理论基础。

本文研究了定义在有限域上的埃尔米特曲线上共线点的韦伊斯特拉斯半群结构，给出了多点情形下半群极小元集合的显式构造，并通过示例验证了定理结果。同时，探讨了广义伽罗瓦环（GGR）的基本概念及其与有限半域的关系，重点分析了顶结合但非结合的GGR成为循环环的可能条件。文章回顾了结合伽罗瓦环的单位群结构，对比了顶结合GGR在不同特征和维度下的性质差异，提出了从特征、维度及非结合性程度等方面入手的研究思路，并展望了其在代数几何与编码理论中的潜在应用价值。

本文研究了循环生成器的自相关性质与Weierstrass半群的结构。在自相关方面，给出了AA_d(q,t,u,v)的渐近估计及其与线性复杂度的关系；在Weierstrass半群方面，通过定义极小元素集合Γ_l^+和Γ_l，证明了Γ_m可生成整个半群H_m。文章还探讨了参数影响、生成过程及未来在序列随机性和代数几何码中的应用前景。

本文研究了有限域上循环生成器的自相关性，涵盖精确值计算、任意有限域上的上界分析、模数非因子情况及非周期自相关性。通过理论推导与应用分析，揭示了其在密码学中的重要价值，特别是在伪随机序列设计与安全性评估中的作用，并展望了未来在更广参数范围和实际密码系统中的应用方向。