22、有限域上本原多项式与向量函数研究

有限域上本原多项式与向量函数研究

有限域上本原多项式的相关理论

在有限域的研究中，本原多项式是一个重要的概念。对于多项式 (h)，当它为零多项式时，即对于所有 (t \leq m)，(\alpha_t (\in R_{1,e_t}) = 0)，此时 (S(\psi(n), \chi_d)) 在 (d = 1) 时为 (q^n - 1)，在 (d > 1) 时为 (0)。对于其他集合 ({\alpha_t \in R_{1,e_t} : t \leq m})，(h) 满足特定引理的限制，其典型单项式 (p^{e - e_t}\alpha_t x^t \in R_{1,e}) 的加权次数至多为 (tp^{e_t - 1} \leq m)，所以 (D_h \leq m)。

根据这些条件，我们可以得出一些重要的结论。例如，通过引理 2 可知，非零 (h) 项对等式右边贡献的绝对值有上界。并且，当 (Q = q^n - 1) 时，我们可以推导出定理 1、2 和 3 的条件版本。

推论 6 ：给定素数幂 (q) 以及任意正整数 (n) 和 (m < \frac{n}{2})，当 (q^{\frac{n}{2} - m} > mW(q^n - 1)) 时，存在本原多项式 (x^n + a_1x^{n - 1} + \cdots + a_n \in F_q[x])，其前 (m) 个系数 (a_1, \cdots, a_m) 可以预先指定。

本原二元多项式

当 (q = 2) 且 (m = \lfloor\frac{n}{4}\rfloor) 时，若 (2^{\frac{n}{4} - \omega} > \frac{n}{4})（其中 (\omega := \omega(2^n - 1))），则上述推论 6 的条件成立。对于较大的 (n)，有如下数值事实：

引理 3 ：若 (\omega \geq 25)，则 (\omega \leq \frac{n}{5})。
证明：设 (P(r)) 表示前 (r) 个奇素数的乘积。通过计算（使用 MAPLE）可知，对于 (r = 25)（第 25 个奇素数为 101），不等式 (P(r) > 2^{5r}) 成立。通过对 (r) 进行归纳，由于更高的素数大于 (2^5 = 32)，所以该不等式对于 (r \geq 25) 都成立。假设 (\omega \geq 25) 且 (\omega > \frac{n}{5})，则会得到 (2^n - 1 < 2^{5\omega} - 1 < P(\omega) \leq 2^n - 1)，这是一个矛盾，所以引理得证。

根据引理 3 和函数 (2^{\frac{x}{20}} - \frac{x}{4}) 的性质（当 (x > 60) 时递增，且 (x = 90) 时为正），当 (\omega \leq \frac{n}{5}) 且 (n \geq 90) 时，定理 1 成立。实际上，对于 (n < 120)，(\omega \leq 12)（在 (n = 72, 84, 96, 108) 时取等号）。在不同的 (n) 取值范围内，通过分析 (\omega) 的取值和相关不等式，我们可以判断定理 1 是否成立。

对于较小的 (n) 值，我们采用筛法技术。

引理 4 ：给定素数幂 (q) 和任意正整数 (n)，将 (q^n - 1) 中不同素数的乘积写为 (lp_1 \cdots p_s)（其中 (l) 为某个因子，(p_1, \cdots, p_s) 为不同素数）。对于任意 (m < \frac{n}{2})，当 (q^{\frac{n}{2} - m} > mW(l)(\frac{s - 1}{\delta} + 2))（其中 (\delta := 1 - \sum_{i = 1}^{s} \frac{1}{p_i})）时，存在本原多项式 (x^n + a_1x^{n - 1} + \cdots + a_n \in F_q[x])，其前 (m) 个系数 (a_1, \cdots, a_m) 可以预先指定。

在二进制情况下（(q = 2)），对于 (n \leq 48)，我们尝试应用引理 4，通常取 (l = 3)。以下是部分 (n) 值的筛选表：
| (n) | (m) | (l) | (p_1 \cdots p_s) | (\delta) | (\Delta) | (q^{\frac{n}{2} - m}) |
| — | — | — | — | — | — | — |
| 48 | 12 | 3 | (5 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 97 \cdot 241 \cdot 257 \cdot 673) | 0.5015 | 382.9 | 4096 |
| 40 | 10 | 3 | (5 \cdot 11 \cdot 17 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 61681) | 0.5936 | 208.4 | 1024 |
| 36 | 9 | 3 | (5 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 37 \cdot 73 \cdot 109) | 0.4776 | 263.7 | 512 |
| 30 | 7 | 3 | (7 \cdot 11 \cdot 31 \cdot 151 \cdot 331) | 0.7243 | 105.8 | 256 |
| 28 | 7 | 3 | (5 \cdot 29 \cdot 43 \cdot 113 \cdot 127) | 0.7255 | 112.8 | 128 |
| 25 | 6 | 1 | (31 \cdot 601 \cdot 1801) | 0.9655 | 24.5 | 90.5 |
| 22 | 5 | 3 | (23 \cdot 89 \cdot 683) | 0.9438 | 41.1 | 64 |
| 21 | 5 | 1 | (7 \cdot 127 \cdot 337) | 0.8463 | 21.8 | 45.2 |

从表中可以看出，在 (21 \leq n \leq 48) 范围内，只有 (n = 24) 不满足引理 4 的条件。对于 (n = 19, 17)，由于 (2^{n - 1}) 是梅森素数，结果很容易满足推论 6。最后，我们使用 MAPLE 6 来处理一些特殊情况，例如打印出 24 次本原二元多项式，其前 6 个系数的所有可能组合都能找到对应的多项式。在这个过程中，我们发现大多数情况下，权重为 2 的多项式就足够了。

本原三元多项式

当 (q = 3) 且 (m = \lfloor\frac{n}{3}\rfloor) 时，若 (3^{\frac{n}{6}} / 2^{\omega} > \frac{n}{3})（其中 (\omega := \omega(3^n - 1))），则相关条件成立。

引理 5 ：若 (\omega \geq 65)，则 (\omega \leq \frac{n}{4.17})。
证明：这里 (P(r)) 表示前 (r) 个不等于 3 的素数的乘积。通过计算可知，对于 (r = 65)（第 65 个这样的素数为 317，大于 (3^{4.17})），不等式 (P(r) > 3^{4.17r}) 成立。

根据引理 5 和相关不等式，定理 2 在一定条件下成立。对于 (72 \leq n \leq 266)，使用 MAPLE 的“简易”因式分解选项可以快速找到 (3^n - 1) 的素因子，并且我们发现对于 (48 < n \leq 266)，有更强的结论 (\omega \leq \frac{n}{5})。由于 (3^{\frac{n}{6}} / 2^{\frac{n}{5}} > \frac{n}{3}) 对于 (n \geq 72) 成立，所以定理 2 对于 (n \geq 72) 成立。

对于 (14 \leq n \leq 71) 的大多数值，应用引理 4（取 (l = 2)）是成功的。以下是部分 (n) 值的筛选表：
| (n) | (m) | (p_1 \cdots p_s) | (\delta) | (\Delta) | (q^{\frac{n}{2} - m}) |
| — | — | — | — | — | — |
| 48 | 16 | (5 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 41 \cdot 73 \cdot 97 \cdot 577 \cdot 769 \cdot 6481) | 0.4628 | 752.7 | 6561 |
| 36 | 12 | (5 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 37 \cdot 73 \cdot 757 \cdot 530713) | 0.4855 | 396.0 | 729 |
| 30 | 10 | (5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 61 \cdot 271 \cdot 4561) | 0.6367 | 228.4 | 243 |
| 27 | 9 | (13 \cdot 109 \cdot 151 \cdot 433 \cdot 757 \cdot 8209) | 0.9101 | 115.1 | 140.2 |
| 25 | 8 | (11 \cdot 29 \cdot 8951 \cdot 391151) | 0.9089 | 67.2 | 140.2 |
| 22 | 7 | (23 \cdot 67 \cdot 661 \cdot 3851) | 0.9398 | 72.6 | 81 |
| 20 | 6 | (5 \cdot 11 \cdot 61 \cdot 1181) | 0.6918 | 76.0 | 81 |
| 19 | 6 | (1597 \cdot 363889) | 0.9993 | 36.0 | 46.7 |
| 17 | 5 | (1871 \cdot 34511) | 0.9943 | 30.0 | 46.7 |
| 14 | 4 | (547 \cdot 1093) | 0.9972 | 24.0 | 27 |

对于未覆盖的 (n) 值（如 (n = 24, 21, 18, 16, 15, 13, 12)），使用 MAPLE 6 来寻找相关的本原多项式。除了 (n = 12) 需要一个权重为 4 的多项式外，其他情况权重为 2 的本原多项式就足够了。

向量函数与覆盖序列

在密码学中，向量函数和覆盖序列也有着重要的应用。密码加密方案主要分为分组密码和流密码两类。分组密码（如 DES 或 AES）由多个轮次组成，每一轮都涉及从二进制向量空间 (F_2^n) 到向量空间 (F_2^m) 的向量函数，也称为 S 盒或 ((n, m)) - 函数。为了保护这些密码系统免受攻击（如线性或差分攻击），这些 ((n, m)) - 函数通常需要具有高代数次数和高非线性度。

流密码中的伪随机生成器涉及布尔函数来组合多个线性反馈移位寄存器的输出或过滤单个寄存器的内容。为了加快流密码的加密和解密速度，可以尝试用向量函数代替布尔函数。为了防止流密码的快速相关攻击，涉及的函数（布尔或向量）必须具有高代数次数和高非线性度。在特定的流密码组合生成器中，它们还必须满足其他条件。

下面是一个简单的流程图，展示了分组密码和流密码中函数的应用：

graph TD;
    A[密码加密方案] --> B[分组密码];
    A --> C[流密码];
    B --> D[(n, m)-函数];
    C --> E[布尔函数];
    C --> F[向量函数];

这些研究对于设计安全的密码系统具有重要意义，通过对本原多项式和向量函数的深入研究，我们可以更好地理解和应用密码学中的相关技术。

有限域 (F_4) 上的本原多项式

当 (q = 4) 且 (m = \lfloor\frac{n}{3}\rfloor) 时，若 (2^{\frac{n}{3} - \omega} > \frac{n}{3})（其中 (\omega := \omega(4^n - 1))），则相关条件成立。

引理 6 ：若 (\omega \geq 63)，则 (\omega \leq \frac{n}{3.29})。
证明：设 (P(r)) 表示前 (r) 个奇素数的乘积。对于 (r = 63)（第 63 个奇素数为 311，大于 (4^{3.29})），不等式 (P(r) > 4^{3.29r}) 成立。

根据引理 6 和相关不等式，定理 3 在一定条件下成立。使用 MAPLE 的“简易”因式分解选项，我们发现对于 (48 < n \leq 207)，有更强的结论 (\omega \leq \frac{n}{4})。由于 (2^{\frac{n}{12}} > \frac{n}{3}) 对于 (n \geq 48) 成立，所以定理 3 对于 (n \geq 49) 成立。

对于 (13 \leq n \leq 48) 的大多数值，应用引理 4（取 (l = 3)）是成功的。以下是部分 (n) 值的筛选表：
| (n) | (m) | (p_1 \cdots p_s) | (\delta) | (\Delta) | (q^{\frac{n}{2} - m}) |
| — | — | — | — | — | — |
| 36 | 12 | (5 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 37 \cdot 73 \cdot 109 \cdot 241 \cdot 433 \cdot 38737) | 0.4123 | 692.9 | 4096 |
| 30 | 10 | (5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 61 \cdot 151 \cdot 331 \cdot 1321) | 0.4058 | 483.4 | 1024 |
| 24 | 8 | (5 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 97 \cdot 241 \cdot 257 \cdot 673) | 0.5015 | 255.3 | 256 |
| 20 | 6 | (5 \cdot 11 \cdot 17 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 61681) | 0.5936 | 125.0 | 256 |
| 16 | 5 | (5 \cdot 17 \cdot 257 \cdot 65537) | 0.7372 | 60.6 | 64 |
| 14 | 4 | (5 \cdot 29 \cdot 43 \cdot 113 \cdot 127) | 0.7255 | 60.1 | 64 |

对于 (n = 18, 15, 12) 和 (6)，由于基域 (F_4) 是非素域，我们采用不同的策略。我们选择 (F_{4^n} = F_{2^{2n}}) 的一个本原元 (\gamma)，通过计算其幂次 (\gamma^i)（(i \geq 1)，((i, 4^n - 1) = 1) 且 (i) 为奇数）的共轭元的前 (m) 个对称函数，来找到满足条件的本原多项式。以下是相关结果：
| (n) | (m) | (4^m) | (f_{\gamma}(x)) | (i_m) |
| — | — | — | — | — |
| 6 | 2 | 16 | (x^{12} + x^4 + x + 1) | 163 |
| 12 | 4 | 256 | (x^{24} + x^4 + x^3 + x + 1) | 4601 |
| 15 | 5 | 1024 | (x^{30} + x^6 + x^4 + x + 1) | 13201 |
| 18 | 6 | 4096 | (x^{36} + x^{11} + 1) | 88147 |

有限域 (F_5) 上的本原多项式

当 (q = 5) 且 (m = \lfloor\frac{n}{3}\rfloor) 时，若 (5^{\frac{n}{6}} / 2^{\omega} > \frac{n}{3})（其中 (\omega := \omega(5^n - 1))），则相关条件成立。

引理 7 ：设 (P(r)) 表示前 (r) 个不等于 5 的素数的乘积，则 (P(r) > 5^{2.828r})（(r \geq 63)）。
引理 8 ：若 (\omega \geq 63)，则 (\omega \leq \frac{n}{2.828})。
证明：基于引理 7 的不等式，当 (r = 63)（第 63 个这样的素数为 311，大于 (5^{2.828})），可得出该结论。

根据引理 8 和相关不等式，定理 3 在一定条件下成立。使用 MAPLE 的“简易”因式分解选项，我们发现对于 (36 < n \leq 175)，有更强的结论 (\omega \leq \frac{2n}{7})（当 (n = 42) 时取等号）。由于 (5^{\frac{n}{12}} / 2^{\frac{2n}{7}} > \frac{n}{3}) 对于 (n \geq 36) 成立，所以定理 3 对于 (n \geq 36) 成立。

对于 (13 \leq n \leq 35) 的大多数值，应用引理 4（取 (l = 2)）是成功的。以下是部分 (n) 值的筛选表：
| (n) | (m) | (p_1 \cdots p_s) | (\delta) | (\Delta) | (q^{\frac{n}{2} - m}) |
| — | — | — | — | — | — |
| 30 | 10 | (3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 31 \cdot 61 \cdot 71 \cdot 181 \cdot 521 \cdot 1741 \cdot 7621) | 0.3620 | 537.2 | 3125 |
| 24 | 8 | (3 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 31 \cdot 313 \cdot 601 \cdot 390001) | 0.4097 | 266.2 | 625 |
| 20 | 6 | (3 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 41 \cdot 71 \cdot 521 \cdot 9161) | 0.4583 | 181.0 | 625 |
| 16 | 5 | (3 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 313 \cdot 114897) | 0.5276 | 95.8 | 125 |
| 14 | 4 | (3 \cdot 29 \cdot 449 \cdot 19531 \cdot 127) | 0.6299 | 54.1 | 125 |

对于 (n = 18, 15, 12)，使用 MAPLE 找到相关的权重为 2 的本原多项式。

较大有限域上的本原多项式

当 (q \geq 7) 时，我们先考虑 (\omega := \omega(q^n - 1) \geq 1547) 的情况。

引理 9 ：若正整数 (M) 满足 (\omega(M) \geq 1547)，则 (2^{\omega(M)} < M^{\frac{1}{12}})。
证明：第 1547 个素数是 12983，通过计算可知，所有小于等于 12983 的素数 (l) 的乘积 (P := \prod_{l \leq 12983} \frac{2}{l^{\frac{1}{12}}}) 小于 0.91。由于 (12983^{\frac{1}{12}} > 2.2 > 2)，所以 ( \frac{2^{\omega(M)}}{M^{\frac{1}{12}}} \leq \prod_{l | M} \frac{2}{l^{\frac{1}{12}}} \leq P < 1)，引理得证。

若 (\omega \geq 1547)，当 (q^{\frac{n}{12}} > \frac{n}{3}) 时，推论 6 的条件成立。因为函数 (q^{\frac{x}{12}} - \frac{x}{3}) 在 (x \geq 12) 时递增，且当 (x = 12)（甚至 (x = 6)）时为正（(q > 4)），所以定理 3 成立。

若 (\omega \leq 1546)（(n < 12 \cdot 1546 = 18552)），我们使用筛法不等式。设 (l) 是 (q^n - 1) 中最小的 (r) 个不同素数的乘积（初始 (r = 10)），根据引理 4 的相关参数和计算，我们可以得到一些筛选条件。以下是部分筛选表：
| (w_1) | (r) | (s_0) | (\delta_0) | (q_0) | (w_2) | (n_0) | (q^*) |
| — | — | — | — | — | — | — | — |
| 1546 | 10 | 1536 | 0.02267 | 16653.6 | 120 | 66 | 6.836 |
| 119 | 5 | 114 | 0.12910 | 335.1 | 53 | 40 | 6.854 |
| 52 | 4 | 48 | 0.20068 | 122.9 | 40 | 33 | 6.914 |
| 39 | 3 | 36 | 0.12170 | 96.2 | 89 | 26 | 20 | 18.05 |
| 39 | 3 | 36 | 0.12170 | 17 | 26 | 32 | 6.66 |
| 25 | 3 | 22 | 0.23051 | 54.5 | 53 | 20 | 16 | 22.36 |
| 25 | 3 | 22 | 0.23051 | 19 | 20 | 21 | 11.53 |
| 25 | 3 | 22 | 0.23051 | 11 | 20 | 26 | 7.57 |
| 25 | 3 | 22 | 0.23051 | 7 | 20 | 32 | 5.38 |
| 19 | 2 | 17 | 0.10455 | 49.8 | | | |

通过筛选表，我们可以将范围缩小到 (q) 为 7 到 49 之间的 19 个素数幂且 (\omega \leq 19) 的情况。进一步考虑，我们可以假设 (\omega \leq 15) 且 (q \leq 31)。对于剩下的 ((q, n)) 对（(7 \leq q \leq 31)，(n \leq 21) 或 17），通过分解 (q^n - 1)，大多数满足基本准则或筛法不等式。最后需要直接检查的是 ((q, 12))（(7 \leq q \leq 13)），对于这些情况，我们成功找到了相应的本原多项式。

总结

通过对不同有限域（(q = 2, 3, 4, 5) 以及 (q \geq 7)）上本原多项式的研究，我们利用引理和筛法技术，结合 MAPLE 等工具，证明了相关定理。同时，在密码学中，向量函数和覆盖序列的研究也为设计安全的分组密码和流密码提供了理论支持。通过对这些内容的深入研究，我们可以更好地理解和应用有限域上的多项式和向量函数，从而提高密码系统的安全性和性能。

下面是一个总结的流程图，展示了整个研究的主要步骤：

graph TD;
    A[有限域上本原多项式研究] --> B[不同q值情况];
    B --> C[q = 2];
    B --> D[q = 3];
    B --> E[q = 4];
    B --> F[q = 5];
    B --> G[q >= 7];
    C --> H[引理和筛法];
    D --> H;
    E --> H;
    F --> H;
    G --> H;
    H --> I[MAPLE验证];
    A --> J[向量函数与覆盖序列研究];
    J --> K[分组密码应用];
    J --> L[流密码应用];

这些研究成果对于密码学的发展具有重要意义，为设计更安全、高效的密码系统提供了有力的理论基础。