11、有限域上随机多项式的特性与应用

有限域上随机多项式的特性与应用

1. 组合结构相关计算结果

针对可分解组合结构中第 $r$ 小的组件，已经推导出其期望、方差和高阶矩。这些结果适用于指数 - 对数类中的多种组合结构，涵盖有标号和无标号对象。这类组合对象包括排列、有限域上的多项式、2 - 正则图、随机映射（函数有向图）、随机映射模式、算术半群等。

2. 有限域上多项式因式分解

多项式因式分解是一项基础任务，有广泛应用，且已被大量研究。存在一种通用的因式分解算法，分三个阶段进行：
- ERF（消除重复因子） ：将多项式替换为无平方因子的多项式，该多项式包含原多项式的所有不可约因子，且指数降为 1。
- DDF（不同次数因式分解） ：将无平方因子的多项式分解为若干多项式的乘积，每个乘积项的不可约因子次数相同。
- EDF（相同次数因式分解） ：对不可约因子次数相同的多项式进行因式分解。

下面详细分析每个阶段：
- ERF 阶段 ：多数多项式是无平方因子的。通过对非无平方因子部分的双变量生成函数进行求导、令 $u = 1$ 并应用奇点分析，可得到非无平方因子部分的平均次数 $N_q$：
[
N_q = \sum_{k\geq1} \frac{kI_k}{q^{2k} - q^k}
]
当 $q \to \infty$ 时，$N_q \sim \frac{1}{q}$。结合算法各步骤的成本，可知 ERF 本质上相当于一次最大公约数（gcd）计算。
- DD