14、双变量zeta函数组合学与相互无偏基构造解析

双变量zeta函数组合学与相互无偏基构造解析

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在双变量zeta函数的研究中，我们首先关注其表达式的推导与分解。通过对变量 (uT) 和 (T^{-1}) 进行整理，得到 ((u - 1)T^{1 - g}Z(T, u)) 的表达式：
((u - 1)T^{1 - g}Z(T, u)=\sum_{h_0\leq h_1}’ T^{-h_1}((uT)^{h_0}-T^{h_0})+\sum_{h_0\geq h_1}’ (uT)^{h_0}(T^{-h_1}-(uT)^{-h_1})+\sum_{h_0\geq h_1}’ (uT)^{h_0 - h_1}-T^{h_0 - h_1}=W_{GS}(uT, T^{-1}))

同时，我们定义 (Z^ (T, u)) 满足 (Z(T, u)=Z^ (T, u)+\frac{hT^g}{(1 - T)(1 - uT)})，这样 (Z^ (T, u)) 是仅由特殊因子贡献的多项式，并且该分解与 (W(x, y)) 的分解兼容，即 ((u - 1)T^{1 - g}Z^ (u, T)=W^*(uT, T^{-1}))。

对于拟阵的归一化秩函数 (W_n^+)，当 (h = 1) 时，条件 (W1) 和 (W2) 成立，并且上述分解同样适用。我们有 (W_n^+(x, y)=W_n^ (x, y)+\frac{1 - xy}{(1 - x)(1 - y)}) 和 (Z(T, u)=Z^ (T, u)+\frac{T^g}{(1 - T)(1 - uT)})，其中 (W_n^ (x, y)) 是多项式 (W^ (x, y)