21、小域上的本原多项式研究

小域上的本原多项式研究

1. 引言

在有限域 $F_q$（$q$ 为素数 $p$ 的幂）中，对于正整数 $n$，本原多项式 $x^n + a_1x^{n - 1} + \cdots + a_n$ 的根是扩域 $F_{q^n}$ 的本原元，其乘法阶为 $q^n - 1$。在很多情况下，确保存在部分系数预先指定的本原多项式是很有价值的，比如许多系数为零的情况。

目前已知的一些结果如下：
- 对于固定数量 $m$（$1 \leq m \leq 3$）的“首”系数 $a_1, \cdots, a_m$ 预先指定的情况，已有相关结论保证在 $F_q$ 上存在 $n$ 次本原多项式。
- 当 $q$ 足够大（依赖于 $n$）时，对于可变数量的指定系数，最多可以指定前 $\lfloor\frac{4n}{2}\rfloor$ 个系数。

然而，当 $F_q$（即 $q$）较小时，这些结果的有效性有限，尤其是在重要的二进制域 $F_2$ 情况下。不过，Shparlinski 证明了对于足够大的 $n$，存在权重为 $\frac{n}{4} + o(n)$ 的 $F_2$ 上的本原多项式。

本文的目的是对 Fan - Han 方法进行简化阐述，并得出一些即使在小域上也有效的无条件结果。主要结论如下：
- 定理 1 ：对于任意正整数 $n$ 和 $m \leq \frac{n}{4}$，存在一个本原二进制多项式 $f(x) = x^n + a_1x^{n - 1} + \cdots + a_{n - 1}x + 1 \in F_2[x]$，其前 $m$ 个系数 $a_1, \cdots, a_m$ 或后 $m$ 个