20、《ZZp²上的格雷映射、(u|u + v)构造与循环码》

《ZZp²上的格雷映射、(u|u + v)构造与循环码》

1. 引言

在编码理论中，ZZp²上的循环码和格雷映射是重要的研究内容。当a(x)和b(x)是ZZ4[x]中xn - 1的互素因子时，M1 = < ˜a(x) >和M2 = < ˜a(x)˜b(x) >是长度为n的二元循环码，可看作M在IF2[x]/(xn - 1)上的“投影”，且M2 ⊂ M1。研究循环码M在何种条件下可由其投影通过M2 + 2M1构造得到，以及满足Π⁻¹(Φ(M)) = < ˜a²(x)˜b(x) >的条件，具有重要意义。

2. 格雷映射与(u|u + v)构造

设p为素数，n为正整数且(p, n) = 1。在ZZp²上，“ + ”表示环ZZp²中的加法运算，“⊕p”表示有限域IFp中的加法。
- 元素的p - 进展开 ：任意元素u ∈ ZZp²有p - 进展开式u = r0(u) + r1(u)p，其中ri(u) ∈ IFp。若u = (u0, u1, …, un - 1) ∈ ZZn p²，则r0(u) = (r0(u0), r0(u1), …, r0(un - 1))，r1(u) = (r1(u0), r1(u1), …, r1(un - 1))。
- 广义格雷映射 ：将IFnp p与p个IFn p的副本等同，广义格雷映射Φ : ZZn p² → IFnp p定义为Φ(a) = (r1(a), r1(a) ⊕p (p - 1)r0(a), r1(a) ⊕p (p - 2)r0(a), …, r1(a) ⊕p r0(a))，其中和与积(p - i)r0(a)（i =