7、超椭圆曲线上的卡蒂尔 - 马尼恩算子与点计数算法

超椭圆曲线上的卡蒂尔 - 马尼恩算子与点计数算法

1. 超椭圆曲线与卡蒂尔 - 马尼恩算子基础

1.1 超椭圆曲线定义

设 (C) 是定义在具有 (p^d) 个元素的有限域 (\mathbb{F} {p^d}) 上的亏格为 (g) 的超椭圆曲线，其中 (p) 是 (\mathbb{F} {p^d}) 的特征，且 (p > 2)。曲线 (C) 的方程形式为 (y^2 = f(x))，这里 (f \in \mathbb{F}_{p^d}[X]) 是一个次数为 (2g + 1) 的首一无平方因子多项式。

1.2 哈塞 - 维特矩阵

• 定义 ：设 (h_k) 是多项式 (f^{\frac{p - 1}{2}}) 中次数为 (k) 的系数。哈塞 - 维特矩阵 (H) 是一个 (g \times g) 的矩阵，其系数在 (\mathbb{F} {p^d}) 中，由 (H = (h {ip - j})_{1 \leq i, j \leq g}) 给出。
• 相关定理 ：设 (C) 是定义在 (\mathbb{F} {p^d}) 上的亏格为 (g) 的超椭圆曲线，(H) 是 (C) 的哈塞 - 维特矩阵，(H {\pi} = H H^{(p)} \cdots H^{(p^{d - 1})})（其中 (H^{(q)}) 表示元素逐次取 (q) 次幂）。设 (\kappa(t)) 是矩阵 (H_{\pi}) 的特征多项式，(\chi(t)) 是曲线 (C) 的雅可比簇的弗罗贝尼乌斯自同态的特征多