27、利用单项式实现有限域置换的循环分解

利用单项式实现有限域置换的循环分解

1. 引言

在数字通信中，有限域的置换研究有着重要的应用价值，特别是在纠错码等领域。考虑具有 $q$ 个元素的有限域 $F_q$，函数 $\pi : F_q \to F_q$ 定义为 $\pi(x) = x^i$，当且仅当 $\gcd(i, q - 1) = 1$ 时，它能产生 $F_q$ 中元素的置换，这样的多项式被称为置换多项式。

我们关注的是由单项式 $x^i$ 实现的、能分解为等长循环的 $F_q$ 置换。当置换仅固定 $0$、$1$ 和 $ - 1$ 时，这类单项式已有相关研究。本文将对能产生分解为等长循环且具有任意固定元素集的单项式进行特征刻画，并给出计算这类单项式数量的公式。同时，还会探讨这类置换在 Turbo 码编码器构建中的应用。

2. 数论预备知识

为了后续的研究，我们需要回顾一些数论中的概念和结果：
- 欧拉函数 ：$\varphi(n)$ 表示不超过 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数。
- 元素的阶 ：整数 $i$ 模 $n$ 的阶是使得 $i^j \equiv 1 \pmod{n}$ 的最小正整数 $j$，记为 $j = \text{ord}_n(i)$。

下面是一些重要的引理和命题：
| 编号 | 内容 |
| — | — |
| 引理 1 | 若 $i \equiv b \pmod{p^l}$，则 $i^p \equiv b^p \pmod{p^{l + 1}}$ 对所有 $l \geq 1$ 成立。 |
| 引理 2 | 设 $j = \text{ord} {p^l}(i)$，则 $j = \text{ord} {p^{l + 1}}(i)$ 或 $jp = \text{ord} {p^{l + 1}}(i)$。 |
| 命题 1 | $j = \text{ord} {p^k}(i)$ 且 $j \mid (p - 1)$ 当且仅当 $j = \text{ord} {p^l}(i)$ 对所有 $1 \leq l \leq k$ 成立。 |
| 引理 3 | 若对某个 $k \geq 2$ 有 $p = \text{ord} {p^k}(i)$，则要么 $2 = p = \text{ord} {p^l}(i)$ 对 $2 \leq l \leq k$ 成立，要么 $i \equiv 1 \pmod{p^l}$ 对 $1 \leq l \leq k$ 成立。 |
| 引理 4 | 设 $j = \text{ord}_s(i)$，$j = \text{ord}_l(i)$ 且 $\gcd(s, l) = 1$，则 $j = \text{ord} {sl}(i)$。 |
| 引理 5 | 设 $j = \text{ord} s(i)$，$i \equiv 1 \pmod{l}$ 且 $\gcd(s, l) = 1$，则 $j = \text{ord} {sl}(i)$。 |
| 命题 2 | 设 $p$ 为奇素数，若 $j \mid \varphi(p^n)$，则模 $p^n$ 有 $\varphi(j)$ 个不同余的阶为 $j$ 的元素。 |
| 命题 3 | 同余方程 $x^2 \equiv 1 \pmod{2^k}$ 的不同余解为：
- 当 $k \geq 3$ 时，解为 $\pm 1, \pm (1 + 2^{k - 1})$；
- 当 $k = 2$ 时，解为 $\pm 1$；
- 当 $k = 1$ 时，解为 $1$。 |

3. 等长循环

对于单项式 $x^i \in F_q[x]$ 的循环结构，前人已有相关研究。这里，我们给出获得分解为等长循环的 $F_q$ 置换时，指数 $i$ 所需满足的充要条件。

定理 1 ：由 $x^i$ 给出的 $F_q$ 置换有长度为 $j$ 的循环，当且仅当 $j = \text{ord} t(i)$，其中 $t \mid (q - 1)$。这样的循环个数 $N_j$ 满足：
$jN_j = \gcd(q - 1, i^j - 1) - \sum {s \mid j, s < j} sN_s$

定理 2 ：设 $q - 1 = p_0^{k_0}p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$，由 $x^i$ 给出的 $F_q$ 置换分解为等长 $j$ 的循环，当且仅当对于每个 $l = 0, \cdots, r$，满足以下条件之一：
1. $i \equiv 1 \pmod{p_l^{k_l}}$
2. $j = \text{ord} {p_l^{k_l}}(i)$ 且 $j \mid (p_l - 1)$
3. $j = \text{ord} {p_l^{k_l}}(i)$，$k_l \geq 2$ 且 $j = p_l$

下面是该定理的证明流程：

graph TD;
    A[⇐=方向证明] --> B[若i≡1 mod p_l^{k_l} 对所有l成立, 则x^i是恒等置换];
    B --> C[若部分l有1 < j = ord_{p_l^{k_l}}(i), 其余l有i≡1 mod p_l^{k_l}];
    C --> D[由命题1和引理3保证j = ord_{p^k_l}(i) 或 i≡1 mod p^k_l];
    D --> E[若t|(q - 1), 由引理4和5得j = ord_t(i) 或 i≡1 (mod t)];
    E --> F[根据定理1, 所有循环长度为j或1];
    G[=⇒方向证明] --> H[假设所有循环长度为j, 由定理1得j = ord_t(i) 或 i≡1 (mod t) 对所有t|(q - 1)成立];
    H --> I[对于t = p_l^{k_l}, l = 0, 1, · · ·, r也成立];
    I --> J[证明若j = ord_{p_l^{k_l}}(i), 则j|(p_l - 1) 或 j = p_l, k_l ≥ 2];
    J --> K[若k_l = 1, 则j|(p_l - 1)];
    J --> L[若k_l ≥ 2且j ∤ (p_l - 1), 由命题1推出j ≠ ord_{p^k_l}(i) 对某些k < k_l成立];
    L --> M[设s是最大的使得j ≠ ord_{p^s_l}(i)的数, 则i≡1 (mod p^s_l)];
    M --> N[由引理1得i^{p_l}≡1 mod p^{s + 1}_l];
    N --> O[j = ord_{p^{s + 1}_l}(i) 意味着j|p_l, 从而j = p_l];

接下来考虑一些特殊情况：
- 显然，$0$ 和 $1$ 总是被置换 $x^i$ 固定。固定元素等同于长度为 $1$ 的循环，根据定理 $1$，元素被固定当且仅当 $i \equiv 1 \pmod{t}$，其中 $t \mid (q - 1)$。注意到 $ - 1$ 是固定元素当且仅当 $i \equiv 1 \pmod{2}$。因此，$0$、$1$、$ - 1$ 是置换的唯一固定元素，当且仅当对于任何 $t \neq 2$ 且 $t \mid (q - 1)$，有 $i \not\equiv 1 \pmod{t}$。

定理 3 ：设 $q - 1 = p_0^{k_0}p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$，$p_0 = 2$，$k_0 = 0, 1$。由 $x^i$ 给出的 $F_q$ 置换分解为等长 $j$ 的循环，且 $0$、$1$、$ - 1$ 或 $0$、$1$ 是唯一固定元素，当且仅当对于 $p_l \neq 2$，有 $j = \text{ord}_{p_l^{k_l}}(i)$ 且 $j \mid (p_l - 1)$。

定理 4 ：设 $q - 1 = p_0^{k_0}p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$，其中 $p_0 = 2$，$k_0 \geq 2$。由 $x^i$ 给出的 $F_q$ 置换分解为等长 $j$ 的循环，且 $0$、$1$、$ - 1$ 是唯一固定元素，当且仅当对于 $p_l \neq 2$ 有 $j = \text{ord} {p_l^{k_l}}(i)$，对于 $2 \leq h \leq k_0$ 有 $j = \text{ord} {2^h}(i)$，且 $j = 2$。

推论 1 ：设 $q - 1 = p_0^{k_0}p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$，其中 $p_0 = 2$，$k_0 > 2$。由 $x^i$ 给出的 $F_q$ 置换分解为等长 $j$ 的循环，且 $0$、$1$、$ - 1$ 是唯一固定元素，当且仅当 $j = 2$ 且 $i = q - 2$ 或 $i = \frac{q - 3}{2}$。

推论 2 ：设 $q - 1 = 4p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$。由 $x^i$ 给出的 $F_q$ 置换分解为等长 $j$ 的循环，且 $0$、$1$、$ - 1$ 是唯一固定元素，当且仅当 $j = 2$ 且 $i = q - 2$。

3.1 计算分解为等长循环的置换单项式的数量

为了计算分解为等长 $j$ 循环的置换单项式的数量，我们定义两个集合：
- $U_j = {i \mid x^i \text{ 是 } F_q \text{ 的分解为长度 } j \text{ 循环的置换}}$
- $W_j = {(w_0, w_1, \cdots, w_r) \mid w_n \in \mathbb{Z} {p_n^{k_n}}, j = \text{ord} {p_n^{k_n}}(w_n) \text{ 若 } j \mid (p_n - 1), \text{ 或 } j = \text{ord}_{p_n^{k_n}}(w_n) \text{ 若 } k_n \geq 2 \text{ 且 } j = p_n, \text{ 或 } w_n \equiv 1 \pmod{p_n^{k_n}}}$

引理 6 ：设 $q - 1 = p_0^{k_0}p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$，定义 $f_j : U_j \to W_j$ 为 $f_j(i) = (w_0, w_1, \cdots, w_r)$，其中 $i \equiv w_n \pmod{p_n^{k_n}}$ 对于 $0 \leq n \leq r$。则 $f_j$ 是一个双射。

定理 5 ：设 $q - 1 = p_0^{k_0}p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$，则 $F_q$ 中具有等长 $j \neq 1$ 循环的置换 $x^i$ 的数量为：
$\sum_{n = 0}^r f(j, p_n^{k_n}) - 1$

其中，对于奇素数 $p_n$：
$f(j, p_n^{k_n}) =
\begin{cases}
1 + \varphi(j) & \text{若 } j \mid (p_n - 1) \
1 + \varphi(j) & \text{若 } j = p_n \text{ 且 } k_n \geq 2 \
1 & \text{否则}
\end{cases}$

对于 $p_n = 2$：
$f(j, 2^k) =
\begin{cases}
4 & \text{若 } j = 2, k \geq 3 \
2 & \text{若 } j = 2, k = 2 \
1 & \text{若 } j = 2, k = 1, \text{ 或 } j > 2
\end{cases}$

当置换 $x^i$ 具有长度为 $j$ 的循环，且 $0$、$1$、$ - 1$ 是唯一固定元素时，有以下命题：

命题 4 ：设 $q - 1 = p_0^k p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$，$k = 0, 1$。具有长度为 $j$ 的循环且 $0$、$1$ 或 $0$、$1$、$ - 1$ 是唯一固定元素的单项式 $x^i \in F_q[x]$ 的数量为 $\varphi(j)^r$，若 $j \mid (p_n - 1)$ 对所有 $1 \leq n \leq r$ 成立；否则为 $0$。

利用单项式实现有限域置换的循环分解

4. 应用于 Turbo 码

在数字通信系统里，纠错码用于保护信息，避免传输过程中出现错误。Turbo 码特别适用于卫星通信系统，它能在降低发射机功率水平的同时，提供良好的纠错性能。

Turbo 编码器的一个关键组件是交织器，其作用是对信息符号进行置换。目前，构建交织器的常用做法是随机选择。不过，这种通过计算机搜索得到的交织器需要存储在内存中，虽然能实现较好的性能，但在实现和性能分析方面存在不足。为解决这一问题，研究人员开始考虑确定性构造方法，期望能实时生成交织器，且性能与随机交织器相当。

多数已知的代数构造交织器的方法效果不佳。对于构建“优质”Turbo 编码器而言，交织器的一些特性，如扩展因子和分散因子，十分重要。此外，交织器置换的循环分解长度与 Turbo 码中卷积码的循环长度之间的关系，也是影响其性能的关键因素。

我们正在利用能产生固定循环长度置换的单项式来构建交织器，并研究其扩展和分散特性以及编码性能。特别关注仅固定 $0$、$1$、$ - 1$ 的置换，因为这类置换通常具有良好的分散性。而且，构造分解为等长 $j$ 循环且仅固定 $0$、$1$、$ - 1$ 的单项式 $x^i \in F_q[x]$ 相对简单：
- 若 $4 \mid (q - 1)$ 且 $j = 2$，则只有 $x^{q - 2}$ 和 $x^{\frac{q - 3}{2}}$ 这两种选择。
- 对于 $q - 1 = p_0^k p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$，$k = 0, 1$ 且 $j \mid (p_n - 1)$ 对所有 $1 \leq n \leq r$ 成立的情况，只需找到满足以下同余方程组的 $i$：
$\begin{cases}
i \equiv 1 \pmod{2} \
i \equiv w_1 \pmod{p_1^{k_1}} \
\cdots \
i \equiv w_r \pmod{p_r^{k_r}}
\end{cases}$

根据中国剩余定理的证明，能轻松构造出这些 $i$。

我们的模拟结果显示，尽管我们构造的交织器在分散性和扩展性上不如随机交织器，但某些循环长度的交织器性能与之相当甚至更优。更多相关细节可进一步深入研究。

在构造规则和不规则低密度奇偶校验（LDPC）码时，大围长的图被广泛应用。近期，也有人从大围长的图中导出 Turbo 码的交织器。Turbo 码图的围长（最短循环的长度）反映了交织器循环长度与卷积码循环长度之间的关系。我们正在深入研究这一关系，试图明确影响交织器性能的其他参数。通过这种方式，有望根据卷积码的循环长度和交织器的循环结构，预测特定交织器的 Turbo 码性能，从而在一定程度上减少繁琐且耗时的模拟分析工作。

以下是构建交织器的步骤总结：
1. 确定条件 ：根据 $q$ 的值以及所需的循环长度 $j$ 和固定元素情况，判断适用的定理或推论。
- 若 $4 \mid (q - 1)$ 且 $j = 2$，优先考虑 $x^{q - 2}$ 和 $x^{\frac{q - 3}{2}}$。
- 若 $q - 1 = p_0^k p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}$，$k = 0, 1$ 且 $j \mid (p_n - 1)$ 对所有 $1 \leq n \leq r$ 成立，构建同余方程组。
2. 求解同余方程组 ：利用中国剩余定理求解同余方程组，得到满足条件的 $i$ 值。
3. 构建交织器 ：使用得到的 $i$ 构建单项式 $x^i$，作为交织器。

步骤	操作内容
1	确定条件，判断适用情况
2	求解同余方程组确定 $i$ 值
3	利用 $i$ 构建单项式交织器

graph LR;
    A[确定q和j的值] --> B{4是否整除q - 1且j = 2};
    B -- 是 --> C[选择x^{q - 2}和x^{\frac{q - 3}{2}}];
    B -- 否 --> D{q - 1 = p_0^k p_1^{k_1} \cdots p_r^{k_r}, k = 0, 1且j | (p_n - 1)对所有1 ≤ n ≤ r是否成立};
    D -- 是 --> E[构建同余方程组];
    E --> F[利用中国剩余定理求解i];
    F --> G[构建单项式x^i作为交织器];
    D -- 否 --> H[重新确定参数或寻找其他方法];

综上所述，通过对有限域置换循环分解的研究，我们为 Turbo 码交织器的构造提供了新的思路和方法。未来，可进一步深入研究循环结构与 Turbo 码性能之间的关系，优化交织器的设计，提高 Turbo 码在实际通信系统中的应用效果。