3、埃尔米特曲线上共线点的韦伊斯特拉斯半群及广义伽罗瓦环研究

埃尔米特曲线上共线点的韦伊斯特拉斯半群及广义伽罗瓦环研究

1. 埃尔米特曲线上共线点的韦伊斯特拉斯半群

1.1 曲线与点的设定

考虑由方程 (y^q + y = x^{q + 1}) 在 (IF_{q^2}) 上定义的曲线 (X)。对于给定的 (a, b \in IF_{q^2}) 且 (b^q + b = a^{q + 1})，令 (P_{ab}) 表示 (x - a) 和 (y - b) 的公共零点。固定 (a \in IF_{q^2})，存在恰好 (q) 个元素 (b_2, \ldots, b_{q + 1} \in IF_{q^2}) 使得 (b_i^q + b_i = a^{q + 1})。设 (P_1 = P_{\infty})，(P_2 = P_{ab_2})，(P_3 = P_{ab_3})，(\ldots)，(P_{q + 1} = P_{ab_{q + 1}})。对于 (1 \leq m \leq q + 1)，记 (H_m := H(P_1, \ldots, P_m))，目标是确定所有 (1 \leq m \leq q + 1) 时的 (\Gamma_m)。

1.2 函数的除子

• (x - a) 的除子为 ((x - a) = \sum_{i = 2}^{q + 1} P_{ab_i} - qP_{\infty})。
• (y) 的除子为 ((y) = (q + 1)(P_{00} - P_{\infty}))。
• 定义函数 (h_{ab_i} := y - b_i - a^q(x - a))（(2 \leq i \leq q + 1)），其除子为 ((h_{ab_i}) =