16、矩阵构造与全局函数域塔的研究

矩阵构造与全局函数域塔的研究

无奇异子矩阵的矩阵构造

在矩阵构造方面，我们从一个$r×2r$矩阵$W = (A|B)$开始。通过计算$A^{-1}W$，得到形式为$(I_r|C)$的矩阵，其中$C = A^{-1}B$。由于构造上$W$的任意$r×r$子矩阵都是非奇异的，所以$A^{-1}W$的任意$r×r$子矩阵也非奇异。结合相关理论可知，形如$[I_r|C]$且任意$r×r$子矩阵非奇异的矩阵，$C$不包含$r’×r’$（$r’ ≤ r$）的奇异子矩阵。

为了验证这些矩阵不是柯西矩阵，我们给出一个反例。在有限域$IF_5$中，设矩阵$A = \begin{pmatrix}1 & 1 \ 1 & 2\end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix}1 & 1 \ 3 & 4\end{pmatrix}$，则$A^{-1}×B = \begin{pmatrix}2 & 4 \ 4 & 1\end{pmatrix}×\begin{pmatrix}1 & 1 \ 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 3 \ 2 & 3\end{pmatrix}$。根据柯西矩阵的定义，可验证该乘积不是柯西矩阵。

这种构造最初是针对方阵的，但可以推广到$A$是$k×k$矩阵，$B$是$k×(n - k)$矩阵的情况。对于任意合适的$n$（$n ≥ k$），可以构造出一个$k×(n - k)$矩阵，其任意方子矩阵都是非奇异的。这样的矩阵可直接用于构建系统 MDS 码的生成矩阵。

构造在快速擦除码中的应用

为了将这种构造应用于