5、广义伽罗瓦环与线性递归序列的相关研究

广义伽罗瓦环与线性递归序列的相关研究

1. 广义伽罗瓦环的左右循环条件

1.1 相关定义与基础性质

考虑特征为 (p^2) 的顶部结合广义伽罗瓦环 (S \in GGR(GF(p^d), p^2))，设 (\alpha \in S^ ) 是 (GF(p^d)) 的一个本原元，那么元素 (\alpha) 的右阶等于 (p^d - 1) 或 ((p^d - 1)p)。
若 (R = \mathbb{Z} {p^2}) 是由单位元 (e) 生成的 (S) 的子环，则集合 (B = {e, \alpha, \ldots, \alpha^{d - 1}}) 是 (S) 的一个 (R -) 基。用 (A \in GL(d, R)) 表示线性变换 (R {\alpha}: S \to S) 关于基 (B) 的矩阵。由于 (T(A) = (p^d - 1)) 或 (T(A) = (p^d - 1)p)，根据相关定理，存在一个次数小于 (d) 的多项式 (H(x) \in R[x])，使得 (A = A^ (E + pH(A^ )))，其中 (A^ \in GL(d, R)) 是一个阶为 (p^d - 1) 的矩阵（若 (T(A) = p^d - 1)，则取 (H(x) = 0)）。

1.2 左右循环的矩阵刻画

命题 4 给出了左右循环顶部结合广义伽罗瓦环的矩阵刻画：集合 (RL_{\alpha}(e)) 等于 (S^ ) 当且仅当向量集合 (W = {h(a)e^{\downarrow}, {a^tba^{-t}e^{\downarrow}} {t \in \mathbb{