12、双变量zeta函数的组合数学

双变量zeta函数的组合数学

1. 引言

Matroids（拟阵）由Whitney引入，用于概括线性相关性的抽象性质。给定一个有限集$E = {1, 2, \ldots, n}$，它标记向量空间$V$中的向量列表$S = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$，$E$上的拟阵定义为$E$的所有满秩子集的集合。与$S$相关的各种问题可以通过拟阵来解决，而无需参考$S$的其他属性。

拟阵的秩多项式用于枚举$E$中给定大小和秩的子集数量。相关问题包括图着色问题（其中$S$是图的顶点 - 边关联矩阵的列集）、权重分布问题（其中$S$是线性码生成矩阵的列集）以及组合游戏的决策问题。

zeta函数与拟阵之间存在联系。Pellikaan的双变量zeta函数给出了有限域上给定曲线的给定度数和维度的除子枚举问题的形式解，VanderGeer和Schoof为数域重新表述了这个zeta函数。Deninger变换将两种zeta函数联系起来。对于线性码，定义了一个双变量zeta函数，它描述了线性码在其基域和所有有限扩域上的汉明权重分布。

2. 拟阵

拟阵$M = (E, I)$由有限集$E$和$E$的子集集合$I$（称为独立集）组成，满足以下公理：
- (I1) $\varnothing \in I$。
- (I2) 如果$I_1 \in I$且$I_2 \subset I_1$，则$I_2 \in I$。
- (I3) 如果$I_1, I_2 \in I$且$|I_2| < |I_1|$，则存在$e \in I_1 - I_2$，使得$I_2 \cup {e} \in I$。

对于向量空间$V$