18、某些本原三元BCH码的覆盖半径研究

某些本原三元BCH码的覆盖半径研究

1 问题提出

在编码理论中，我们关注一类特殊的码——本原三元BCH码。设$q = 3^m$，$C = C(m, δ)$是长度为$q - 1$、设计距离为$δ$的本原三元（狭义）BCH码。这里我们主要考虑$δ = 3t - 1$的情况。

对于这类码，前人已经有相关研究成果：当$q > q_0$（$q_0$仅依赖于$δ$）时，码$C$的覆盖半径$ρ$至多为$δ$；而根据“超码引理”，对于足够大的$q$，有$ρ ≥ δ - 1$。

我们的主要研究成果如下：
- 当$δ = 8$且$m ≥ 20$（$m$为偶数）时，码$C$的覆盖半径为$7$。
- 当$δ = 14$且$m ≥ 46$时，码$C$的覆盖半径为$13$。

为了证明这些结论，我们对一种原本用于研究二元本原BCH码覆盖半径的方法进行了显著修改。对于较小的$t$值，我们可以使用Maple等工具进行显式计算来解决某些问题。同时，我们也对一般$t$的设计距离$δ = 3t - 1$和$δ = 3t$的情况进行了研究，避免了使用计算机。

2 代数表述

我们的方法第一步是将编码理论问题转化为在有限域$F_q$上对某个多项式的分裂问题，这与二元情况的处理过程类似。

2.1 问题转化

为了证明$ρ ≤ δ - 1 = 3t - 2$，只需证明对于任意的$a_k ∈ F_q$（$1 ≤ k ≤ 3t - 2$，$3 \nmid k$），方程组
[
\begin{cases}
ε_1x_1 + ε_2x_2 + \cdots + ε_{3t - 2