17、有限域上某些塔的构造

有限域上某些塔的构造

1. 引言

在代数几何码的构造中，具有许多有理位的塔的显式构造起着关键作用。一种显式构造塔的方法是通过单个方程递归定义。本文将探讨定义方程应满足的条件，以构建具有许多有理位的塔，并引入一类新的此类塔。

设 $f(x, y)$ 是 $\mathbb{F} q$ 上的绝对不可约多项式，且 $\text{deg}_y f = m > 1$。若 $F_0 = \mathbb{F}_q(x_0)$ 是有理函数域，$F_k = F {k - 1}(x_k)$ 且 $f(x_{k - 1}, x_k) = 0$，则称域 $T = \bigcup_{k\geq0}F_k$ 由 $f(x, y)$ 递归定义。若对于所有 $k\geq0$，$F_{k - 1} \neq F_k$ 且 $\mathbb{F}_q$ 是精确常数域，并且存在 $k\geq0$ 使得 $g(F_k) > 1$，则称 $T$ 为塔。

若 $\lambda(T) = \lim_{k\rightarrow\infty}\frac{N(F_k)}{g(F_k)} > 0$，其中 $N(F_k)$ 表示 $F_k$ 的 $\mathbb{F} q$ - 有理位的数量，$g(F_k)$ 表示 $F_k$ 的亏格，则称塔 $T$ 是渐近良好的，$\lambda(T)$ 称为塔 $T$ 的极限。渐近良好塔的构造具有广泛的意义，特别是在编码理论中。本文仅考虑 $F {k + 1}/F_k$ 是驯扩张的塔。

部分渐近良好的塔由形如 $y^m = a(x + b)^m + c$（其中 $a, b, c \in \mathbb{F}_q^*$