8、特定多项式的互不可约性及伪随机数序列的相关特性

特定多项式的互不可约性及伪随机数序列的相关特性

1. 线性反馈移位寄存器与线性变换移位寄存器

线性反馈移位寄存器（LFSRs）在有限域上序列的实现中起着重要作用，每次迭代生成一个新元素。而线性变换移位寄存器（TSRs）则是通过字导向操作，每次迭代生成一个完整的字。一个阶为 $m$ 的线性变换与一个阶为 $n$ 的 LFSR 相结合，可在有限域 $F_q$ 上创建 TSR。

对于 LFSRs，序列 $s_0, s_1, \cdots$ 满足阶为 $n$ 的 LFSR $S = \langle a_0, a_1, \cdots, a_{n - 1} \rangle$（$a_0 \neq 0$），即 $s_{n + t} = a_0s_t + a_1s_{t + 1} + \cdots + a_{n - 1}s_{n + t - 1}$，我们将其与多项式 $f_S(x) = a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_0$ 关联。

对于 TSRs，给定 $n$ 个向量 $v_0, v_1, \cdots, v_{n - 1}$ 和阶为 $m$ 的线性变换 $T$，有 $v_n = T(a_0v_0 + a_1v_1 + \cdots + a_{n - 1}v_{n - 1})$。其相关重要结论如下：
- 命题 1 ：设 $T$ 是 $F_q^m$ 的线性变换，特征多项式为 $f_T(x)$，$S = \langle a_0, a_1, \cdots, a_{n - 1} \rangle \in F_2^n$（$a_0 \neq 0$），则 TSR $\langle T, S \rangle$ 的特征多项式为 $f_{\