15、互无偏基与无奇异方子矩阵的矩阵构造

互无偏基与无奇异方子矩阵的矩阵构造

互无偏基相关内容

互无偏基在量子信息理论中是基础概念，在量子密码学和最优测量设计等方面有重要应用。在维度为 (d) 的空间中，最多存在 (d + 1) 个互无偏基。当 (d) 为素数幂时，确实能达到这个最大值。下面我们分不同情况来详细探讨互无偏基的构造。

1. 奇素数幂维度情况
   • 基本定义与引理 ：设 (F_q) 是具有 (q) 个元素且特征为奇素数 (p) 的有限域，(\text{tr}(\cdot)) 表示从 (F_q) 到素域 (F_p) 的绝对迹。每个非零元素 (x \in F_q) 定义了一个非平凡的加法特征 (F_q \to C^×)，即 (y \to \omega_p^{\text{tr}(xy)})，其中 (\omega_p = \exp(2\pi i/p)) 是 (p) 次本原单位根。引理 1（Weil 和）表明，对于 (F_q) 上的非平凡加法特征 (\chi) 和二次多项式 (p(X) \in F_q[X])，有 (\sum_{x \in F_q} \chi(p(x)) = \sqrt{q})。
   • Alltop 序列的推广构造 ：设 (F_q) 是特征 (p \geq 5) 的有限域，定义 (B_{\alpha} = {b_{\lambda,\alpha} | \lambda \in F_q})，其中 (b_{\lambda,\alpha} = \frac{1}{\sqrt{q}} \left(\omega_p^{\text{tr}((k + \alpha)^3 +