10、图的拉姆齐数与平面点集空凸子集研究

图的拉姆齐数与平面点集空凸子集研究

在图论和组合几何领域，拉姆齐数以及平面点集的空凸子集问题一直是研究的热点。本文将深入探讨多个相同星图与小圈图的拉姆齐数，以及平面点集特定不相交空凸子集的最小点数。

图的拉姆齐数研究

拉姆齐理论在图论中占据着重要地位，它主要研究在图的着色或划分中，必然出现某种特定子结构的最小图的规模。对于两个无孤立顶点的图 (G) 和 (H)，有如下重要定理：
- 定理A ：(R(G, H) \geq (\chi(G) - 1)(n(H) - 1) + 1)，其中 (\chi(G)) 是图 (G) 的色数，(n(H)) 是图 (H) 最大连通分量的顶点数。这一结果由Chvátal和Harary提出，激发了众多学者对不同图组合的拉姆齐数 (R(G, H)) 的研究。
- 推论1 ：对于星图 (S_{1 + p}) 和4 - 圈图 (C_4)，有 (R(S_{1 + p}, C_4) \geq (\chi(C_4) - 1)(V(S_{1 + p}) - 1) + 1 = p + 1)。

此外，关于星图与圈图的拉姆齐数已有一些研究成果：
- Lawrence证明了 (R(S_{16}, C_4) = 20)，并且给出了 (R(S_{1 + n}, C_m)) 的表达式：
[
R(S_{1 + n}, C_m) =
\begin{cases}
m & \text{if } m \geq 2n \
2n + 1 & \text{if } m \text{ is odd and } m \leq 2n