6、简单多边形中路径计算与多边形收缩相关研究

简单多边形中路径计算与多边形收缩相关研究

1. 简单多边形中路径计算

1.1 基本概念与引理

在简单多边形中，存在一些关于路径的重要概念和引理。例如，对于不能相互看见的两点 (x_i) 和 (x_j)，有如下引理：
- 引理 7 ：若存在一条 (st) 定向的无 3 - 捷径路径 (K = x_ix_{i + 1} \cdots x_j)，则 (\overrightarrow{SP_{x_ix_j}}) 是 (st) 定向的。证明过程基于存在两个不相交的 (st) 分隔器 (S_{st}(a_i,x_i,c_i)) 和 (S_{st}(a_j,x_j,c_j))，且 (s \in P_s(a_i,x_i,c_i))，(t \in P_t(a_j,x_j,c_j))，根据另一个引理得出结论。
- 引理 8 ：对于从 (s) 到 (x_k) 的任意 (st) 定向的无 3 - 捷径路径，若最后一个金字塔是 (\triangle x_{k - 2}x_{k - 1}x_k)，则 (a_k) 或 (c_k) 仅由该金字塔决定。证明分三步，首先证明射线 (\overrightarrow{x_kf}) 先与 ([x_{k - 2}, x_{k - 1}]) 相交；其次证明 (f) 是 (\partial P_L) 上第一个对 (x_k) 可见的顶点；最后证明 ([x_k, f]) 不与 (S_{st}(a_{k - 1},x_{k - 1},c_{k - 1})) 的下部相交，从而得出 (c_k) 为 (f) 的结论。

1.2 MOD - SSSP 算法

MOD - S