7、多边形无限坍缩的条件与特性

多边形无限坍缩的条件与特性

在几何图形的研究中，多边形的坍缩问题一直是一个有趣且具有挑战性的课题。本文将深入探讨四边形、五边形以及更大边数多边形的坍缩特性，揭示它们能够无限坍缩的条件。

1. 四边形坍缩基础

在探讨多边形坍缩时，四边形的坍缩是基础。对于四边形的坍缩，有以下关键结论：
- 引理 6 ：四边形无限坍缩序列的任何累积点都是扁平的，且没有直顶点。
- 证明过程：首先，由于坍缩是口袋翻转的逆过程，而凸多边形不存在口袋翻转，所以除初始四边形 (P_0) 外，所有的四边形 (P_t(t>0)) 都是非凸的。若 (P_t(t>0)) 有直顶点，那么它会位于其他三个顶点构成的三角形的边上，使四边形变为凸的，这与非凸性质矛盾。根据推论 1，累积点 (P^ ) 也没有直顶点。再由引理 4，存在一个子链 (v_i, v_{i + 1}, \cdots, v_j)（(j - i \geq 2)）是无限多次坍缩的口袋链，实际上 (j - i = 2)，因为反射更长的（4 顶点）口袋链不会改变多边形。对 (P_1, P_2, \cdots) 应用引理 5，对于任何累积点 (P^ )，(v_{i + 1}^ ) 是发夹点，且 (v_i^ ) 或 (v_j^ = v_{i + 2}^ ) 是发夹点。发夹点 (v_{i + 1}^ ) 意味着 (v_i^ , v_{i + 1}^ , v_{i + 2}^ ) 共线，而 (v_i^ ) 或 (v_{i + 2}^ ) 是发夹点意味着剩余顶点 (v_{i + 3}^