26、立方图的哈密顿数与六角双棱锥分形的数独着色

立方图的哈密顿数与六角双棱锥分形的数独着色

在图论和分形几何领域，有两个有趣的研究方向值得深入探讨，一是立方图的哈密顿数，二是六角双棱锥分形的数独着色问题。下面将为大家详细介绍这两方面的内容。

立方图的哈密顿数

在研究立方图的哈密顿数时，有一些重要的结论和定理。

当 $j = 4 + i$ 时，存在图 $G \in C1(314 + 2i)$，使得 $G$ 是一个 $j$ - 哈密顿图，且其所有非平凡块都是哈密顿图。

若 $6 \leq j \leq 4 + i$，且图 $G \in C1(314 + 2i)$ 是一个包含哈密顿叶块 $B$ 的 $j$ - 哈密顿图，对于 $v \in V(B)$，则 $G v \in C1(314 + 2(i + 1))$，并且 $G v$ 是一个带有哈密顿叶块的 $j$ - 哈密顿图。

还有一个重要的引理：若 $n \geq 10$ 且 $C(3n)$ 包含一个 $j$ - 哈密顿图，那么 $C(3n + 2)$ 也包含一个 $j$ - 哈密顿图。由此可知，若 $h(3n) + 2 = {h(G) + 2 : G \in C(3n)}$，则 $h(3n) + 2 \subseteq h(3n + 2)$。

基于这些结论，对于偶数 $n \geq 4$ 且 $n \neq 14$，存在整数 $b$ 使得 $h(3n) = {k \in ZZ : n \leq k \leq b}$，并且整数 $b$ 有如下明确公式：
- 当且仅当 $n = 4, 6, 8$ 时，$b = n$；
- 当且仅当 $n = 10, 12$ 时，$b = n + 2$