3、图论与铺砌问题：从染色到变换的深入探讨

图论与铺砌问题：从染色到变换的深入探讨

1. 特定等面铺砌的色数

在平面铺砌的研究中，色数是一个重要的概念。对于一些特定的等面铺砌，我们可以探讨其色数的相关性质。

1.1 图的三色性与铺砌

考虑图 (H_1)、(H_2) 和 (H_3)，可以容易地看出它们是三色可染的。若图 (G_T) 同构于这些图的子图，那么 (G_T) 也是三色可染的。由此，对于铺砌 (F = {T + (2k, 2l) : k, l \in \mathbb{Z}} \cup {T_0 + (2k, 2l) : k, l \in \mathbb{Z}})，它同样是三色可染的。

1.2 推论：叶点坐标的互质性

设 (T) 是平面 (xy) 坐标下双覆盖正方形 (V) 的展开图，(A = O(0, 0)) 和 (B(m, n)) 是边界 (\partial T) 的叶点。可以证明 (m) 和 (n) 是互质的。假设 (m) 和 (n) 有一个大于 1 的公约数 (s)，根据相关引理会得出与已知条件矛盾的结果，从而证明 (m) 和 (n) 互质。

1.3 定理推广

用 (\Pi(e_1, e_2)) 表示由两个独立单位向量 (e_1)、(e_2) 确定的斜坐标系平面，其长度不一定相等。对于由单个瓷砖 (T) 构成的等面铺砌，通过独立向量 (2e_1)、(2e_2) 进行两次平移，并且关于 (\Pi(e_1, e_2)) 中的格点具有半转对称性，那么铺砌 (F) 是三色可染的，即 (\chi(T) \leq 3)。证明过程是通过一个仿射变换 (\psi)，将铺砌 (T) 映射到平面上，得到的图像是双覆盖正方形的展开图，再根据之