25、立方图的哈密顿数研究

立方图的哈密顿数研究

1. 哈密顿数的范围定义

对于偶数 $n \geq 4$，我们定义 $h(3n) = {h(G) : G \in C(3n)}$，其中 $h(G)$ 表示图 $G$ 的哈密顿数，$C(3n)$ 表示所有 $n$ 阶连通立方图的集合。同时，定义 $min(h, 3n) = min{h(G) : G \in C(3n)}$ 和 $max(h, 3n) = max{h(G) : G \in C(3n)}$。

已知对于任意偶数 $n \geq 4$，都存在 $n$ 阶哈密顿立方图，所以 $min(h, 3n) = n$。并且，当且仅当 $n = 4, 6, 8$ 时，$max(h, 3n) = min(h, 3n) = n$；对于 $n = 10, 12$，$max(h, 3n) = n + 2$，此时具有 $h(G) = max(h, 3n)$ 的连通立方图 $G$ 是有割边的图。

以下几个有用的事实：
1. 如果连通图 $G$ 包含一条边 $e$ 使得 $G - e$ 仍连通，那么 $h(G) \leq h(G - e)$。
2. 如果 $G$ 是 $n$ 阶 2 - 连通立方图，$F = \sum_{i = 1}^{k} C_{p_i}$ 是 $G$ 的一个 2 - 因子，那么存在一个集合 $X = {e_1, e_2, \ldots, e_{k - 1}} \subseteq E(G) - E(F)$ 使得 $F + X$ 连通。因此，$h(G) \leq h(F + X) = n + 2(k - 1)$，特别地，$k \leq \lfloor\frac{n - 2}{4}\rfloor$。
3. 对于整数 $n \geq 10