5、图论与多边形内简单路径计算

图论与多边形内简单路径计算

在图论和计算几何领域，有两个重要的研究方向值得深入探讨，一个是关于特定图的性质定理，另一个是在简单多边形内计算简单路径的问题。下面我们将详细介绍相关的定理和算法。

图论相关定理

在图论中，有如下重要定理：
- 定理 9 ：设 (n) 和 (a) 是满足 (2 \leq a \leq n - 1) 的整数，有以下结论：
1. (cmn(n) = n - 1)；
2. 若 (4 \leq a \leq n - 1)，当 (a = 2q) 时，(cmn(a) = \overline{t}(n, q) + q - 1)；当 (a = 2q + 1) 时，(cmn(a) = \overline{t}(n - 1, q) + q)（其中 (q) 为整数）；
3. 当 (n \geq 3) 时，(cmn(3) = \left\lfloor\frac{n - 1}{2}\right\rfloor + 1)；当 (n \geq 2) 时，(cmn(2) = \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor)。
- 定理 10 ：设 (n) 和 (m) 是满足 (n - 1 \leq m \leq \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor) 的整数，则：
1. (Min(f; n, m) = Max(f; n, m) = n) 当且仅当 (m = n - 1)；
2. (Min(f; n, m) = Max(f; n, m) = 2) 当且仅当 (m = \left\lfloor\frac{n