20、轴平行矩形的染色问题

轴平行矩形的染色问题

1. 引言

在平面上给定一组点 $P$ 和一个区域族 $R$，我们可以自然地关联两个相互对偶的超图。设 $H(P, R)$ 是以 $P$ 为顶点集的超图，其超边是 $P$ 与 $R$ 中成员相交得到的所有子集。超图 $H^*(P, R)$ 则是通过交换 $R$ 和 $P$ 的角色定义的：其顶点集为 $R$，对于每个 $p \in P$，它有一个由 $R$ 中包含 $p$ 的所有区域组成的超边。

设 $H$ 是一个顶点集为 $V(H)$ 的超图。$H$ 的色数 $\chi(H)$ 是对 $V(H)$ 进行染色所需的最小颜色数，使得至少有两个顶点的超边都不是单色的。设 $H_r$（和 $H_{\geq r}$）表示以 $V(H)$ 为顶点集的超图，由 $H$ 的所有 $r$ 元（至少 $r$ 元）超边组成。根据定义，我们有 $\chi(H) = \chi(H_{\geq 2})$。

当 $R$ 是所有轴平行矩形的族，$P$ 是平面上的 $n$ 个点的集合时，界定 $\chi(H(P, R))$ 的问题就归结为估计图 $G(P, R) := H_2(P, R)$ 的色数，该图由 $H(P, R)$ 的所有二元（超）边组成。相关研究表明，$G(P, R)$ 的色数不能由一个绝对常数界定，并且存在 $n$ 元点集 $P$ 使得 $G(P, R)$ 的色数增长速度至少为 $\Omega(\frac{\log n}{\log_2 \log n})$，同时也有 $\chi(H(P, R)) = \chi(G(P, R)) \leq O(n^{0.383})$。

对于固定的 $r \geq 2$，当 $n$ 趋于无穷大时，在单位正方形中随机均匀选取的 $n