19、分治法构建 k - 集多边形

分治法构建 k - 集多边形

1. 引言

在平面几何中，k - 集多边形的构建是一个重要的问题。本文将介绍一种使用分治法来构建 k - 集多边形的方法，包括如何确定需要移除和创建的边，以及相应算法的实现和复杂度分析。

2. 移除边的确定

在合并两个 k - 集多边形时，需要确定在 (g_k(V_l)) 和 (g_k(V_r)) 上要移除的边。可以通过对称的方式找到相关信息，并且可以在 (O(k + d \log k)) 时间内完成，其中 (d) 是要移除的边的总数。

3. 边的构建

3.1 上边界线 (C_{upper}) 的构建

由于要构建的 k - 集多边形是凸的，需要创建的边形成两条相连的线，即上边界线 (C_{upper}) 和下边界线 (C_{lower})。这里重点介绍 (C_{upper}) 的构建。

3.1.1 引理 5

(e_P(s, t)) 是 (C_{upper}) 的一条边，当且仅当从 (V_l) 和 (V_r) 分别与 ((st)) 平行可分离的 k 元素集 (T_l) 和 (T_r) 满足以下条件：
- (e_P(s, t)) 是 (g_k(T_l \cup T_r)^+) 的一条边。
- (g(T_l)) 是 (D^+ {left}) 的一个顶点，(g(T_r)) 是 (D^+ {right}) 的一个顶点。

3.1.2 证明

• 正向推导 ：若 (e_P(s, t)) 是 (C_{upper}) 的一条