13、分数图论与随机球面三角形的研究

分数图论与随机球面三角形的研究

1. 分数图论相关结果

1.1 超图的覆盖与填充

在图论中，许多概念可视为超图覆盖或填充问题，如色数与匹配数。对于超图 (H)，有 (p(H) \leq k(H))。这里引入分数覆盖和填充的概念。
- 分数覆盖和填充数的定义 ：
- 分数覆盖数 (k_f(H)) 和分数填充数 (p_f(H)) 分别是对偶线性规划“最小化 (I’x)，满足 (Mx \geq 1) 且 (x \geq 0)” 和 “最大化 (I’y)，满足 (M’y \leq 1) 且 (y \geq 0)” 的值，由对偶性可知 (k_f(H) = p_f(H))。
- 还有另一种定义方式。对于正整数 (t)，(t) - 覆盖是一个多重集 ({X_1, X_2, \cdots, X_j})，其中 (X_i \in X)，且每个 (s \in S) 至少在 (t) 个 (X_i) 中。这种多重集的最小基数（最小的 (j)）称为 (t) - 覆盖数，记为 (k_t(H))，显然 (k_1(H) = k(H))，且 (k_{s + t}(H) \leq k_s(H) + k_t(H))。因此，分数覆盖数定义为 (k_f(H) = \lim_{t \to \infty} \frac{k_t(H)}{t} = \inf_t \frac{k_t(H)}{t})。
- 类似地，(t) - 填充是顶点集的一个多重集 (Y)，对于每个 (X_i \in X)，有 (\sum_{s \in X} m(s) \leq t)，其中 (m) 是 (s \in S) 在 (Y) 中的重数。(t) - 填充数 (p_t(H)) 是 (t) - 填充的最