15、有向图分支覆盖的Bartholdi ζ函数

有向图分支覆盖的Bartholdi ζ函数

1. 引言

本文主要探讨有向图的Bartholdi ζ函数，包括其定义、相关矩阵的构造以及在不同覆盖情况下的分解公式。Bartholdi ζ函数在图论中具有重要作用，可用于研究图的结构和性质。

1.1 Bartholdi ζ函数的定义

设 (D) 为有向图，其Bartholdi ζ函数 (ζ_D(u, t)) 定义为：
[ζ_D(u, t) = ζ(D, u, t) = \prod_{[C]}(1 - u^{c_b(C)}t^{|C|})^{-1}]
其中，([C]) 遍历 (D) 的所有素循环等价类。若 (D) 是连通图 (G) 对应的对称有向图，则 (D) 的Bartholdi ζ函数就是 (G) 的Bartholdi ζ函数。

1.2 相关矩阵的定义

• 矩阵 (A_1) 和 (A_0) ：设 (m_1 = |{(u, v) \in A(D) | (v, u) \in A(D)}| / 2)，定义 (n \times n) 矩阵 (A_1 = A_1(D) = (a_{uv})) 如下：
  [a_{uv} =
  \begin{cases}
  1, & \text{若} (u, v) \text{和} (v, u) \in A(D) \
  0, & \text{否则}
  \end{cases}
  ]
  进一步，令 (A_0 = A_0(D) = A(D) - A_1)。
• 矩阵 (S) ：