22、查特兰德 - 厄尔多斯定理：旧定理的新视角

查特兰德 - 厄尔多斯定理：旧定理的新视角

1. 引言

图论中的查特兰德 - 厄尔多斯定理是一个经典结果，近年来在多个方向上有了新的拓展。这些拓展围绕图的各种性质展开，如泛圈性、圈覆盖、长圈、支配圈、2 - 因子、生成树等，为图论研究带来了新的活力。

2. 泛圈性相关定理

Flandrin 等人证明了，如果图的阶数由独立数的某个函数从下方界定，那么某个猜想成立。具体定理如下：
定理 6：一个阶数为 $n$ 的 2 - 连通图 $G$，若 $\alpha(G) = \alpha$ 且 $\kappa(G) = \kappa$，当 $\alpha \leq \kappa$ 且 $n \geq 2 \cdot r(4\alpha, \alpha + 1)$ 时（其中 $r(m, n)$ 是拉姆齐数），图 $G$ 是泛圈的。
这个定理是朝着解决相关猜想前进的不错一步，但由于阶数的下界不是常数，所以不能简单地说它解决了足够大图的猜想。

3. 圈覆盖

设 $C_1, \ldots, C_m$ 是图 $G$ 中的圈。如果 $V(G) = \bigcup_{i = 1}^{m} V(C_i)$，则称 $C_1, \ldots, C_m$ 覆盖图 $G$，这里不要求这些圈是不相交的，即它们可能不构成图 $G$ 的 2 - 因子。
根据定义，图 $G$ 是哈密顿图当且仅当它能被一个圈覆盖。Kouider 证明了查特兰德 - 厄尔多斯定理的一个优美拓展：
定理 7：每个 2 - 连通图 $G$，若 $\alpha(G) = \alpha$ 且 $\kappa(G) = \kappa$，则可被 $\lceil\alp